[论文解读] Tropical Polynomial Division and Neural Networks
本文提出了一种基于在最大-加法半环中通过除数的牛顿多面体近似被除多项式的牛顿多面体的新型热带多项式除法方法，实现了经典多项式除法的几何类比。该方法通过利用多面体对网络行为的编码，将两层全连接ReLU网络最小化，即使在原始神经元数量的1%时，准确率损失也低于0.5%，展现出强大的网络剪枝潜力。
In this work, we examine the process of Tropical Polynomial Division, a geometric method which seeks to emulate the division of regular polynomials, when applied to those of the max-plus semiring. This is done via the approximation of the Newton Polytope of the dividend polynomial by that of the divisor. This process is afterwards generalized and applied in the context of neural networks with ReLU activations. In particular, we make use of the intuition it provides, in order to minimize a two-layer fully connected network, trained for a binary classification problem. This method is later evaluated on a variety of experiments, demonstrating its capability to approximate a network, with minimal loss in performance.
研究动机与目标
- 在最大-加法半环中开发经典多项式除法的几何类比，以实现对热带多项式的结构化近似。
- 探索牛顿多面体在编码ReLU神经网络功能行为中的作用。
- 将热带多项式除法的洞察应用于最小化两层全连接网络以实现二分类。
- 评估该方法在显著减小模型规模的同时保持网络性能的有效性。
- 为将该方法推广至更深的和多分类神经网络架构奠定基础。
提出的方法
- 该方法通过使用除数多项式的牛顿多面体来近似被除热带多项式的牛顿多面体，模拟最大-加法代数中的经典多项式除法。
- 它利用了牛顿多面体完全刻画了热带多项式的分段线性结构这一事实，而该结构对应于ReLU网络的激活区域。
- 该算法通过使用几何和组合准则，将除数多面体的顶点和面与被除数多面体的顶点和面对齐，来计算商和余数。
- 由此产生的近似用于识别两层全连接网络中的冗余神经元，从而在保持功能行为的前提下实现剪枝。
- 通过最小化目标函数（公式32）来应用该方法，该函数平衡了近似的保真度与网络的稀疏性。
- 剪枝后，对网络进行微调以补偿近似误差。
实验结果
研究问题
- RQ1能否通过使用除数的牛顿多面体来近似被除多项式的牛顿多面体，在最大-加法半环中对热带多项式除法进行有意义的定义？
- RQ2热带多项式的牛顿多面体在多大程度上能够编码ReLU神经网络的功能行为？
- RQ3能否利用热带多项式除法的几何直觉，有效剪枝两层全连接ReLU网络，同时实现最小的性能退化？
- RQ4剪枝后的网络性能与相同规模的全新训练网络相比如何，跨不同数据集和架构表现如何？
- RQ5该方法能否推广至更深的和多分类神经网络架构？
主要发现
- 在MNIST偶/奇二分类任务中，剪枝后的网络在仅保留原始神经元数量1%的情况下，准确率仍保持在98.03%，相比完整模型仅下降0.1%。
- 对于4/9和3/6数字对任务，剪枝后的网络在1%的原始规模下实现了99.117%的准确率，与完整模型性能相当。
- 在所有测试的剪枝水平（最低至0.5%）下，该方法在基于MNIST的任务中均实现了低于0.5%的准确率损失，表现出高度鲁棒性。
- 对剪枝后的网络进行微调后性能得到提升，表明该方法为微调提供了良好的初始化。
- 在较低神经元数量下，该方法的性能优于或至少匹配全新训练模型的表现，表明其具有有效的结构近似能力。
- 对于偶/奇任务，需要使用更大的卷积核，这是由于类内方差较高，凸显了近似过程中表示质量的重要性。
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