[论文解读] Tropical Support Vector Machine and its Applications to Phylogenomics

Xiaoxian Tang, Houjie Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2020

Genomics and Phylogenetic Studies参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文提出热带支持向量机（SVM）以在非欧几里得树空间中对系统发育树进行分类，利用热带几何与最大-加法代数。该文将硬边界与软边界热带SVM建模为线性规划问题，证明了可行性所需的充要条件，并推导出显式最优间隔公式，从而实现对多基因基因组数据在系统基因组学中的鲁棒分类。

ABSTRACT

Most data in genome-wide phylogenetic analysis (phylogenomics) is essentially multidimensional, posing a major challenge to human comprehension and computational analysis. Also, we can not directly apply statistical learning models in data science to a set of phylogenetic trees since the space of phylogenetic trees is not Euclidean. In fact, the space of phylogenetic trees is a tropical Grassmannian in terms of max-plus algebra. Therefore, to classify multi-locus data sets for phylogenetic analysis, we propose tropical support vector machines (SVMs). Like classical SVMs, a tropical SVM is a discriminative classifier defined by the tropical hyperplane which maximizes the minimum tropical distance from data points to itself in order to separate these data points into sectors (half-spaces) in the tropical projective torus. Both hard margin tropical SVMs and soft margin tropical SVMs can be formulated as linear programming problems. We focus on classifying two categories of data, and we study a simpler case by assuming the data points from the same category ideally stay in the same sector of a tropical separating hyperplane. For hard margin tropical SVMs, we prove the necessary and sufficient conditions for two categories of data points to be separated, and we show an explicit formula for the optimal value of the feasible linear programming problem. For soft margin tropical SVMs, we develop novel methods to compute an optimal tropical separating hyperplane. Computational experiments show our methods work well. We end this paper with open problems.

研究动机与目标

• 为解决多基因系统发育树分类的挑战，这些树位于不适合经典SVM的非欧几里得空间中。
• 开发一种适用于系统发育树热带格拉斯曼空间的判别分类器，基于最大-加法代数。
• 将硬边界与软边界热带SVM建模为线性规划问题，以有效将数据点分离至不同扇区。
• 在假设同一类中的点位于同一扇区的前提下，建立线性规划公式的可行性所需与充分条件。
• 在硬边界情况下推导出最优间隔的显式公式，实现高效计算与理论保证。

提出的方法

• 使用最大-加法代数将系统发育树空间建模为热带格拉斯曼空间，实现非欧几里得几何分析。
• 将热带超平面定义为热带射影环面上不同数据点之间的分隔边界。
• 对于硬边界热带SVM，将优化问题建模为线性规划，以最大化至超平面的最小热带距离（间隔）。
• 引入软边界热带SVM以处理重叠数据点，通过组合目标函数平衡间隔最大化与分类误差。
• 利用树坐标之间的两两比较推导可行性条件，特别关注扇区对齐的索引 i_P, j, i_Q。
• 基于不同类别间树坐标值差异的极小值，采用显式公式计算最优间隔值。

实验结果

研究问题

• RQ1 热带SVM能否在热带格拉斯曼空间的非欧几里得空间中有效分离两类系统发育树？
• RQ2 硬边界热带SVM线性规划公式的可行性所需与充分条件是什么？
• RQ3 在扇区对齐假设下，如何显式计算硬边界热带SVM中的最优间隔？
• RQ4 如何建立并求解软边界热带SVM，以在数据重叠情况下平衡间隔最大化与分类误差？
• RQ5 热带SVM中最大可实现间隔的理论界是什么？在何种条件下达到该界？

主要发现

• 硬边界热带SVM线性规划可行性的充要条件由不等式 (17) 和 (18) 给出，涉及不同类别中树之间坐标差值的极小值与极大值。
• 当扇区对齐条件成立时，推导出最优间隔值的显式公式为 z = min{p∈P}(p_iP - p_j) + min{q∈Q}(q_j - q_iP)。
• 最优间隔在以下任一情况下实现：ω_iP - ω_j = min{q∈Q}(q_j - q_iP) 或 ω_iQ - ω_j = min{p∈P}(p_j - p_iQ)，确保最大分离。
• 最优间隔 z 的上界为 z ≤ ½(min{p∈P}(p_k1 - p_k2) + min{q∈Q}(q_k2 - q_k1))，其中 k1, k2 为任意一对索引。
• 对于软边界热带SVM，该方法通过组合目标函数平衡间隔最大化与误差最小化，即使在数据点不完全可分时也能实现鲁棒分类。
• 计算实验验证了所提方法的有效性，R语言实现已公开发布于GitHub仓库。