[论文解读] Truncated convolution of character sheaves

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 15

一句话总结

本文在代数群及卢茨蒂格的特征层理论背景下，引入了对特征层的截断卷积运算。它建立了扭曲诱导函子之间的典范同构，并证明了截断卷积保持权重过滤与奇异层结构，从而通过迹公式和韦依群的格罗滕迪克群上的群同态，给出了特征层格罗滕迪克群的新刻画。

ABSTRACT

Let G be a reductive connected group over an algebraic closure of a finite field. I define a tensor structure on the category of perverse sheaves on G which are direct sums of unipotent character sheaves in a fixed two-sided cell, in accordance with a conjecture I have made in 2004. I also show that that the resulting monoidal category is equivalent to the centre of a monoidal category which I defined in 1997 (a categorical version of the J-ring attached to the same two-sided cell), thus verifying a conjecture of Bezrukavnikov, Finkelberg, Ostrik. A possible interpretation of unipotent characters associated to a finite noncrystallographic Coxeter group is given.

研究动机与目标

• 在半单代数群的背景下，定义并研究特征层上的截断卷积运算。
• 在文献中已有结果的基础上，建立扭曲诱导函子与截断卷积之间的典范同构。
• 证明截断卷积在导出范畴上保持权重过滤与奇异层结构。
• 通过迹公式与韦依群上的群同态，刻画特征层格罗滕迪克群。
• 为早期工作中的一项结果提供特征零的类比，该结果与李型有限群的表示理论相关。

提出的方法

• 将截断诱导函子 $ \chi $ 定义为卷积与特定权重层级截断的复合，使用 $ a + \nu + r $-平移的特征层构造。
• 利用格罗滕迪克群 $ \Cal{C}^{b{c}}_0 G $ 将截断卷积的作用提升至 $ \bb{Z} $-模层面。
• 引入群同态 $ \tau: J^c \to \bb{Z} $，对 $ D_c $ 中的元素赋值 1，其余赋值 0，以通过迹公式计算 Hom-维数。
• 通过涉及沿映射 $ c, c', t, u, d $ 的拉回与上推的图表追踪，建立典范同构 $ \chi(L \bullet L') = \chi(L' \bullet L) $，并利用 $ L' $ 的 $ G $-等变性。
• 应用特殊三角形分解 $ (\tau_{>i}X, \tau_{\leq i}X, X^i[-i]) $ 分析权重过滤，并在特定条件下证明 $ \Phi $ 保持 $ \prec $-过滤。
• 利用韦依群不可约表示的正交性，将 Hom-维数计算约化为在 $ J^c \otimes \bb{C} $ 上的群算子的迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 特征层上的截断卷积运算与 $ G $-等变层导出范畴中的标准卷积有何关系？
• RQ2 在何种条件下，截断卷积能保持导出范畴上的奇异层过滤与权重结构？
• RQ3 截断诱导函子能否在格罗滕迪克群中被典范地识别为扭曲卷积运算？
• RQ4 如何精确表达 $ \dim \text{Hom}_{\Cal{C}^c G}(\underline{\chi}(\mathbb{L}_z), \underline{\chi}(\mathbb{L}_u)) $ 的迹公式，其与韦依群表示理论的关系为何？
• RQ5 $ L' $ 的 $ G $-等变性如何在格罗滕迪克群中实现对称性 $ \chi(L \bullet L') = \chi(L' \bullet L) $ ？

主要发现

• 对于 $ G $-等变的 $ L' $，截断卷积运算满足 $ \chi(L \bullet L') = \chi(L' \bullet L) $，在格罗滕迪克群中建立了典范对称性。
• 同态空间的维数 $ \dim \text{Hom}_{\Cal{C}^c G}(\underline{\chi}(\mathbb{L}_z), \underline{\chi}(\mathbb{L}_u)) $ 由 $ (-1)^{|z|+|u|} \sum_{y \in \mathbb{c}} \tau(t_{y^{-1}} t_z t_y t_{u^{-1}}) $ 给出，其为非负整数。
• 截断诱导函子 $ \chi $ 满足 $ \underline{\chi}(\mathbb{L}_z) = \underline{R_z^{n_z}}(n_z/2) $，从而与标准诱导表示相联系。
• 在所述条件下，函子 $ \Phi $ 对权重 $ \leq i $ 的复形的作用保持 $ \prec $-过滤，且 $ (\Phi(\mathbb{X}))^j \in \Cal{M}^{\prec}Y_2 $ 对于 $ j > c + c' $ 成立。
• 在给定的过滤与权重约束下，典范同构 $ \underline{(\Phi(\underline{\mathbb{X}^{\{c'\}}}))^{\{c\}}} = \underline{(\Phi(\mathbb{X}))^{\{c+c'\}}} $ 成立。
• 迹公式约化为对 $ y \in \mathbb{c} $ 的求和，其中 $ t_z t_y t_u^{-1} $ 中 $ t_y $ 的系数为 $ \tau(t_{y^{-1}} t_z t_y t_{u^{-1}}) $，当 $ y^{-1} = t_z t_y t_u^{-1} $ 时为 1，否则为 0。