[论文解读] Truncated K-moment problems in several variables

Raúl E. Curto, Lawrence A. Fialkow|ArXiv.org|Jul 4, 2005

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 41被引用 138

一句话总结

本文通过证明一个实多序列在且仅当其矩矩阵为半正定且存在一个所有关联局部化矩阵也均为半正定的平坦（保秩）扩展时，其在半代数集 $K_{\mathcal{Q}}$ 上存在最小秩、有限原子表示测度，从而完整刻画了多变量截断 K-矩问题。关键贡献在于提出一种构造性方法，通过扩展矩矩阵的零点集计算唯一最小表示测度的原子与权重。

ABSTRACT

Let $β\equivβ^{(2n)}$ be an N-dimensional real multi-sequence of degree 2n, with associated moment matrix $\mathcal{M}(n)\equiv \mathcal{M}(n)(β)$, and let $r:=rank \mathcal{M}(n)$. We prove that if $\mathcal{M}(n)$ is positive semidefinite and admits a rank-preserving moment matrix extension $\mathcal{M}(n+1)$, then $\mathcal{M}(n+1)$ has a unique representing measure μ, which is r-atomic, with supp μ$ equal to $\mathcal{V}(\mathcal{M}(n+1))$, the algebraic variety of $\mathcal{M}(n+1)$. Further, βhas an r-atomic (minimal) representing measure supported in a semi-algebraic set $K_{\mathcal{Q}}$ subordinate to a family $\mathcal{Q}% \equiv\{q_{i}\}_{i=1}^{m}\subseteq\mathbb{R}[t_{1},...,t_{N}]$ if and only if $\mathcal{M}(n)$ is positive semidefinite and admits a rank-preserving extension $\mathcal{M}(n+1)$ for which the associated localizing matrices $\mathcal{M}_{q_{i}}(n+[\frac{1+°q_{i}}{2}])$ are positive semidefinite $(1\leq i\leq m)$; in this case, μ(as above) satisfies supp μ\subseteq K_{\mathcal{Q}}$, and μhas precisely rank \mathcal{M}(n)-rank \mathcal{M}_{q_{i}}(n+[\frac{1+°q_{i}}{2}])$ atoms in $\mathcal{Z}(q_{i})\equiv {t\in\mathbb{R}^{N}:q_{i}(t)=0}$, $1\leq i\leq m$.

研究动机与目标

• 刻画多变量截断多序列存在最小秩、有限原子表示测度的条件。
• 确定此类测度在由多项式不等式定义的半代数集 $K_{\mathcal{Q}}$ 上支持的必要与充分条件。
• 提供一种显式算法，用于在测度存在时计算其原子与密度。
• 将矩矩阵平坦扩展理论推广至涉及半代数集的约束情形。

提出的方法

• 该方法基于分析与给定多序列 $\beta^{(2n)}$ 相关的矩矩阵 $\mathcal{M}(n)$ 及其秩 $r$。
• 引入矩矩阵 $\mathcal{M}(n)$ 的平坦（保秩）扩展 $\mathcal{M}(n+1)$ 的概念，确保唯一 $r$-原子表示测度的存在。
• 对于约束问题，为定义半代数集 $K_{\mathcal{Q}}$ 的每个多项式 $q_i$ 定义局部化矩阵 $\mathcal{M}_{q_i}(n+k_i)$。
• 证明 $K_{\mathcal{Q}}$-表示测度的存在性等价于 $\mathcal{M}(n)$ 与所有 $\mathcal{M}_{q_i}(n+k_i)$ 的非负性，以及平坦扩展的存在性。
• 测度的原子作为扩展矩矩阵 $\mathcal{M}(n+1)$ 的代数簇 $\mathcal{V}(\mathcal{M}(n+1))$ 中的点计算，其重数由 $\mathcal{M}(n)$ 与 $\mathcal{M}_{q_i}(n+k_i)$ 的秩差决定。
• 权重通过由原子构成的范德蒙德矩阵与矩序列构成的线性系统计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $N$ 个变量中，截断多序列在何种条件下存在支持于半代数集 $K_{\mathcal{Q}}$ 的最小秩、有限原子表示测度？
• RQ2 当此类测度存在时，如何算法化地计算其原子与权重？
• RQ3 矩矩阵的平坦扩展与表示测度在半代数集内支持之间的确切关系为何？
• RQ4 能否从矩矩阵与局部化矩阵的秩显式确定位于每个定义多项式 $q_i$ 的零点集中的原子数量？

主要发现

• 截断多序列 $\beta^{(2n)}$ 存在 $\operatorname{rank}\mathcal{M}(n)$-原子的 $K_{\mathcal{Q}}$-表示测度，当且仅当 $\mathcal{M}(n) \geq 0$ 且 $\mathcal{M}(n)$ 存在平坦扩展 $\mathcal{M}(n+1)$，使得所有局部化矩阵 $\mathcal{M}_{q_i}(n+k_i) \geq 0$。
• 当满足存在性条件时，唯一表示测度 $\mu$ 为 $r$-原子测度，且 $\operatorname{supp}\mu = \mathcal{V}(\mathcal{M}(n+1))$，即扩展矩矩阵的代数簇。
• 位于零点集 $\mathcal{Z}(q_i)$ 中的测度 $\mu$ 的原子数量恰好为 $\operatorname{rank}\mathcal{M}(n) - \operatorname{rank}\mathcal{M}_{q_i}(n+k_i)$。
• 测度 $\mu$ 唯一确定，并可通过涉及原子的范德蒙德矩阵与矩序列的线性系统显式计算。
• 表示测度所需的最小原子数恰好为 $\operatorname{rank}\mathcal{M}(n)$，且当平坦扩展存在时该界被精确达到。
• 即使原始矩矩阵 $\mathcal{M}(n)$ 不具备平坦扩展，只要存在更高阶的正定扩展 $\mathcal{M}(n+j)$ 及其平坦扩展 $\mathcal{M}(n+j+1)$，并满足局部化矩阵的非负性条件，结论依然成立。