[论文解读] Truncated moment problems for representing densities and the Riesz-Haviland theorem

Călin-Grigore Ambrozie|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Risk and Portfolio Optimization被引用 2

一句话总结

本文提出了瑞斯-哈维兰定理的一个截断矩问题变体，建立了在何种条件下一个矩序列可被勒贝格测度绝对连续的表示密度所表示的条件。主要贡献在于，在支持具有自然正则性假设的前提下，对具有非负博雷尔表示测度的矩序列锥的稠密内部进行了表征。

ABSTRACT

We give a version of the Riesz-Haviland theorem for truncated moments problems, characterizing the existence of the representing measures that are absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. The existence of such representing densities describes the dense interior of the convex cone of all data having nonnegative Borel representing measures. A natural regularity assumption on the support is required.

研究动机与目标

• 将瑞斯-哈维兰定理推广至具有绝对连续表示测度的截断矩问题。
• 确定矩序列在何种条件下可被勒贝格测度绝对连续的表示密度所表示。
• 表征那些可被非负博雷尔表示测度表示的矩序列凸锥的稠密内部。
• 引入支持的自然正则性假设，以确保此类密度的存在。

提出的方法

• 将截断矩问题表述为测度空间中的对偶问题。
• 以瑞斯-哈维兰定理为基础，推导出勒贝格绝对连续表示测度存在的条件。
• 应用泛函分析技术，表征具有密度的矩序列集合的闭包。
• 引入支持的正则性条件，以确保光滑表示密度的存在。
• 利用矩序列与连续函数之间的对偶性，推导出存在性所需的充要条件。
• 建立表示密度存在性与对偶空间中特定类测试函数的正性条件之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个截断矩序列可被勒贝格测度绝对连续的表示密度所表示？
• RQ2 瑞斯-哈维兰定理如何适应于具有绝对连续测度的截断矩问题设定？
• RQ3 具有非负博雷尔测度的矩序列锥的稠密内部与那些可被勒贝格绝对连续表示测度所表示的序列之间存在何种关系？
• RQ4 对支持的正则性假设如何影响此类表示密度的存在性？

主要发现

• 本文建立了截断矩序列可被勒贝格测度绝对连续的表示密度所表示的必要且充分条件。
• 具有勒贝格绝对连续表示测度的矩序列集合，构成了具有非负博雷尔表示测度的序列凸锥的稠密内部。
• 此类表示密度的存在性等价于对偶空间中特定类测试函数的正性条件。
• 支持的正则性假设对于确保截断矩问题设定下光滑密度的存在至关重要。
• 该结果以绝对连续表示测度为框架，对矩锥的稠密内部给出了完整表征。
• 该框架将经典的瑞斯-哈维兰定理扩展至截断且绝对连续的情形，为矩问题提供了新工具。