[论文解读] Truncation errors and modified equations for the lattice Boltzmann method via the corresponding Finite Difference schemes

Thomas Bellotti|arXiv (Cornell University)|May 5, 2022

Lattice Boltzmann Simulation Studies被引用 3

一句话总结

本文通过将格子Boltzmann方法重新表述为在守恒变量上的多步有限差分格式，建立了其严格的相容性分析，从而在声学和扩散标度下推导出二阶以内的修正方程。该方法在离散层面精确消除了非守恒矩，所得结果与以往形式化方法一致，但具备完整的数学严谨性，因此可应用Lax等价定理进行收敛性分析。

ABSTRACT

Lattice Boltzmann schemes are efficient numerical methods to solve a broad range of problems under the form of conservation laws. However, they suffer from a chronic lack of clear theoretical foundations. In particular, the consistency analysis and the derivation of the modified equations are still open issues. This has prevented, until today, to have an analogous of the Lax equivalence theorem for Lattice Boltzmann schemes. We propose a rigorous consistency study and the derivation of the modified equations for any lattice Boltzmann scheme under acoustic and diffusive scalings. This is done by passing from a kinetic (lattice Boltzmann) to a macroscopic (Finite Difference) point of view at a fully discrete level in order to eliminate the non-conserved moments relaxing away from the equilibrium. We rewrite the lattice Boltzmann scheme as a multi-step Finite Difference scheme on the conserved variables, as introduced in our previous contribution. We then perform the usual analyses for Finite Difference by exploiting its precise characterization using matrices of Finite Difference operators. Though we present the derivation of the modified equations until second-order underacoustic scaling, we provide all the elements to extend it to higher orders, since the kinetic-macroscopic connection is conducted at the fully discrete level. Finally, we show that our strategy yields, in a more rigorous setting, the same results as previous works in the literature.

研究动机与目标

• 为长期缺乏理论基础的格子Boltzmann方法，特别是其相容性与修正方程推导问题，提供严谨的理论框架。
• 通过完全离散的变换，弥合动能格子Boltzmann格式与宏观有限差分格式之间的差距。
• 提供一个数学上严谨的框架，以证明现有形式化方法（如Maxwell迭代法和等价方程法）的合理性。
• 通过建立格子Boltzmann格式与目标PDE的一致性，使Lax等价定理能够应用于该类格式。
• 通过基于矩阵的离散算子形式化方法，将修正方程分析的有效性扩展至更高阶及任意时空标度。

提出的方法

• 利用完全离散的动能到宏观变换，将格子Boltzmann格式重新表述为在守恒矩上的多步有限差分格式。
• 采用有限差分算子的矩阵表示，精确刻画格式并执行标准截断误差分析。
• 在离散层面精确消除非守恒矩，避免依赖准平衡假设或多时间尺度分析。
• 利用形式幂级数与矩阵函数（行列式与伴随矩阵）建立格子Boltzmann格式与其对应有限差分格式之间的关系。
• 将Maxwell迭代法应用于格子Boltzmann格式，并证明其与有限差分形式推导出的修正方程等价。
• 利用符号计算的潜力，实现对任意格子Boltzmann格式的修正方程推导自动化。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖渐近或形式展开的前提下，严格建立格子Boltzmann格式的相容性？
• RQ2 如何在离散层面以完全数学精确的方式推导格子Boltzmann格式的修正方程？
• RQ3 当应用于格子Boltzmann格式时，Maxwell迭代法推导修正方程是否与有限差分分析等价？
• RQ4 通过建立格子Boltzmann格式与目标PDE的一致性，是否可使Lax等价定理应用于该类格式？
• RQ5 格子Boltzmann格式的修正方程与其对应有限差分格式之间的确切关系为何？

主要发现

• 格子Boltzmann格式被严格重构为在守恒变量上的多步有限差分格式，从而支持标准截断误差与相容性分析。
• 通过有限差分方法推导出的修正方程在任意阶次下均与Maxwell迭代法所得结果完全一致，为后者提供了事后数学依据。
• 该方法避免了准平衡或多重时间尺度的假设，转而在离散层面精确消除非守恒矩。
• 一阶主导修正方程与以往形式化方法所得结果完全相同，但现具备完整的数学严谨性。
• 该框架可扩展至高阶项与任意时空标度，且论文中已提供实现此类扩展所需的所有必要组件。
• 研究结果从数值分析角度验证了Maxwell迭代法与等价方程法的适用性，确立了其理论合理性。