[论文解读] Tsirelson's Problem

Volkher B. Scholz, Reinhard F. Werner|ArXiv.org|Dec 22, 2008

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用 41

一句话总结

本文研究了Tsirelson问题——即在联合Hilbert空间上由对易可观测量导出的量子关联是否能通过有限维张量积系统来逼近。研究证明，这两个模型等价当且仅当所有量子关联均可通过有限维系统逼近，从而将该问题与C*-代数和算子系理论联系起来。

ABSTRACT

The situation of two independent observers conducting measurements on a joint quantum system is usually modelled using a Hilbert space of tensor product form, each factor associated to one observer. Correspondingly, the operators describing the observables are then acting non-trivially only on one of the tensor factors. However, the same situation can also be modelled by just using one joint Hilbert space, and requiring that all operators associated to different observers commute, i.e. are jointly measurable without causing disturbance. The problem of Tsirelson is now to decide the question whether all quantum correlation functions between two independent observers derived from commuting observables can also be expressed using observables defined on a Hilbert space of tensor product form. Tsirelson showed already that the distinction is irrelevant in the case that the ambient Hilbert space is of finite dimension. We show here that the problem is equivalent to the question whether all quantum correlation functions can be approximated by correlation function derived from finite-dimensional systems. We also discuss some physical examples which fulfill this requirement.

研究动机与目标

• 解决一个基础性问题：由联合Hilbert空间上对易可观测量导出的量子关联是否能用张量积Hilbert空间来表示。
• 确定所有量子关联是否都能通过有限维量子系统来逼近。
• 建立Tsirelson问题与算子代数中已知概念（如核C*-代数和超有限von Neumann代数）之间的联系。
• 提供一个利用算子系和完全正映射分析量子关联的框架。
• 识别出由于核性或超有限性等结构性质，对易模型与张量积模型等价的物理系统。

提出的方法

• 形式化两种量子关联模型：一种基于联合Hilbert空间上的对易可观测量，另一种基于张量积结构。
• 将相关性范数‖·‖_pmax和‖·‖_pmin定义为可观测量代数代数张量积上的算子空间范数。
• 使用弱算子拓扑收敛概念，并通过完全正单位映射实现有限维逼近。
• 利用有限维空间中弱收敛与范数收敛一致的事实，构造相关性函数的有限维逼近。
• 运用算子空间理论中的定理，证明满足pmax范数条件的任意相关性函数均可通过张量积系统逼近。
• 利用核C*-代数和超有限von Neumann代数的结构，识别出该等价性成立的物理系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 由联合Hilbert空间上对易可观测量导出的所有量子关联函数是否都能通过有限维张量积系统相关性来逼近？
• RQ2 在可观测量代数满足何种条件下，对易可观测量与张量积可观测量会产生等价的相关性函数？
• RQ3 能否通过有限维逼近建立对易模型与张量积模型之间的等价性？
• RQ4 核C*-代数和超有限von Neumann代数在解决Tsirelson问题中起到何种作用？
• RQ5 Tsirelson问题是否等价于量子关联有限维逼近可实现性的问题？

主要发现

• Tsirelson问题等价于所有量子关联是否都能通过有限维量子系统相关性来逼近的问题。
• 本文证明：若一个相关性函数满足pmax范数条件，则其可被张量积系统逼近，当且仅当其可被有限维系统逼近。
• 当底层算子代数为核代数或超有限代数时，相关性函数的有限维逼近存在。
• 核C*-代数和超有限von Neumann代数确保对易可观测量与张量积可观测量产生等价的相关性函数。
• 该等价性在费米子系统、两量子比特纠缠链以及均匀超有限自旋系统等物理系统中成立。
• 该结果在量子信息理论与算子代数理论之间建立了深刻联系，表明Tsirelson问题中未解决的问题或可通过C*-代数技术加以解决。