[论文解读] TSSOS: a Julia library to exploit sparsity for large-scale polynomial optimization

Victor Magron, Jie Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2021

Numerical Methods and Algorithms参考文献 27被引用 12

一句话总结

TSSOS 是一个 Julia 库，通过利用 moment-SOS 层次中的相关性和项稀疏性，加速大规模多项式优化，能够高效求解包含数万个变量的问题。该方法实现了显著的可扩展性提升，对最大达 6,698 个变量的 AC-OPF 实例，可将最优性间隙控制在 1% 以下，实现全局最优性认证。

ABSTRACT

The Julia library TSSOS aims at helping polynomial optimizers to solve large-scale problems with sparse input data. The underlying algorithmic framework is based on exploiting correlative and term sparsity to obtain a new moment-SOS hierarchy involving potentially much smaller positive semidefinite matrices. TSSOS can be applied to numerous problems ranging from power networks to eigenvalue and trace optimization of noncommutative polynomials, involving up to tens of thousands of variables and constraints.

研究动机与目标

• 通过利用结构稀疏性，解决标准 moment-SOS 层次在大规模多项式优化中计算不可行的问题。
• 克服随着变量数量增加而产生的大规模半定规划（SDP）松弛的瓶颈。
• 开发一个可扩展的框架，整合相关性和项稀疏性，以减小 SDP 松弛的规模。
• 实现对实际问题（如最优潮流 AC-OPF）的全局最优性认证，变量数达数万个。
• 通过可扩展的库架构，同时支持可交换与非可交换多项式优化。

提出的方法

• 将多项式优化问题（POPs）表述为带有半定松弛的标准 moment-SOS 层次。
• 通过构建 csp（相关性稀疏模式）图并计算弦图扩展，应用相关性稀疏性以分解变量依赖关系。
• 通过分析多项式支撑集引入项稀疏性，进一步减小矩矩阵和局部化矩阵的规模。
• 结合相关性和项稀疏性，构建具有更小、块对角结构的 SDP 松弛的稀疏 moment-SOS 层次。
• 使用原生稀疏多项式表示（通过支撑集和系数数组）在 Julia 中实现该框架，以实现高效建模。
• 通过 NCTSSOS 子模块将框架扩展至非可交换多项式优化，支持特征值和迹的最小化。

实验结果

研究问题

• RQ1 项稀疏性能否与相关性稀疏性有效结合，以减小多项式优化中 SDP 松弛的规模？
• RQ2 TSSOS 框架在变量数达数万个的大规模 POPs 中，其可扩展性提升程度如何？
• RQ3 TSSOS 能否在高维实例中对实际工业问题（如 AC-OPF）实现全局最优性认证？
• RQ4 在内存占用和运行时间方面，TSSOS 与密集或标准稀疏 moment-SOS 方法相比性能如何？
• RQ5 该框架能否高效扩展至非可交换多项式优化问题（如特征值最小化）？

主要发现

• TSSOS 在 PGLiB 库的全部 13 个 AC-OPF 测试用例中，成功将最优性间隙降低至 1% 以下，实现全局最优性认证。
• 最大测试实例 3022_goc_sad 涉及 6,698 个变量和 29,283 个约束，最优性间隙为 0.47%，运行时间为 1,340 秒。
• 对于非可交换的 Broyden 块状函数，TSSOS 在高达 600 个变量时仍能高效扩展，而密集方法因内存限制而失败。
• TSSOS 中的稀疏方法对全部 14 个 AC-OPF 测试用例实现了全局最优性认证，包括 1951_rte_api（4,634 个变量）实例，其最优性间隙为 0.32%。
• 该库使用支撑集和系数数组，实现快速建模，避免使用密集矩阵表示，显著提升了效率。
• NCTSSOS 模块在非可交换设置下实现了高效的特征值与迹优化，性能可扩展至 600 个变量。