[论文解读] Tubular free by cyclic groups and the strongest Tits alternative

J. O. Button|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 3

一句话总结

该论文通过Wise的等权集准则，证明了管状自由-循环群在CAT(0)立方复形上自由作用，并几乎满足最强的Tits选择性——即每个子群要么映射到非交换自由群，要么是无挠的阿贝尔群。Gersten群是首个已知的此类群，它既不是几乎特殊群，也不是几乎剩余自由群，但仍几乎满足这一强群论性质。

ABSTRACT

We show, using Wise's equitable sets criterion, that every tubular free by cyclic group acts freely on a CAT(0) cube complex. We also show that these groups have a finite index subgroup satisfying the strongest Tits alternative, which means that every subgroup either surjects a non abelian free group or is torsion free abelian. In particular the Gersten group is the first known group virtually having this property but which is not virtually special nor virtually residually free.

研究动机与目标

• 确定管状自由-循环群是否在CAT(0)立方复形上自由作用。
• 研究这些群是否即使不是几乎特殊群或几乎剩余自由群，仍满足最强的Tits选择性。
• 识别首个既不是几乎特殊群，也不是几乎剩余自由群，但仍几乎满足最强Tits选择性的群的例子。
• 通过在所有边群上非零的ℤ同态，对自由-循环的管状群进行分类。
• 探索CAT(0)立方复形上的几何作用与强群论性质（如最强Tits选择性）之间的关系。

提出的方法

• 利用Wise的等权集准则，证明管状自由-循环群在CAT(0)立方复形上自由作用。
• 构造一个到ℤ的同态，使其在所有边群上非零，以刻画自由-循环的管状群。
• 应用等权集条件，证明此类群满足在CAT(0)立方复形上自由作用的准则。
• 通过结构群论分析，证明具有最大边包含关系的管状群在有限指数子群中几乎满足最强Tits选择性。
• 使用有限覆盖将问题约化到最大边包含关系的情形，从而应用定理3.7。
• 利用所有自由-循环管状群均存在有限覆盖具有最大边包含关系的事实，将结果推广到一般情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有管状自由-循环群是否都在CAT(0)立方复形上自由作用？
• RQ2 是否可能存在既不是几乎特殊群也不是几乎剩余自由群，但仍几乎满足最强Tits选择性的群？
• RQ3 是否存在一个群不是几乎特殊群，但仍几乎满足最强Tits选择性？
• RQ4 最大边包含关系在确保最强Tits选择性几乎成立中起什么作用？
• RQ5 CAT(0)立方复形上的几何作用与强群论性质（如最强Tits选择性）之间有何关系？

主要发现

• 每个管状自由-循环群都通过Wise的等权集准则在CAT(0)立方复形上自由作用。
• Gersten群是首个已知的既不是几乎特殊群，也不是几乎剩余自由群，但仍几乎满足最强Tits选择性的群。
• 所有具有最大边包含关系的管状群在其有限指数子群中满足最强Tits选择性。
• 满足最强Tits选择性的有限指数子群被显式构造，Gersten群的情形中其指数为4。
• Woodhouse群及其他例子被证明具有满足最强Tits选择性的有限指数子群，尽管它们不在有限维CAT(0)立方复形上自由作用。
• 本文指出，最强Tits选择性可在无需几何立方化的情况下建立，表明群论性质可独立于几何作用推导。