[论文解读] Tukey classes of ultrafilters on omega

David Milovich|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用 12

一句话总结

该论文研究了 ω 上的 Tukey 类，证明在 Diamond 原则 (♦) 下，存在一个非 P-点超滤子，其反向包含序不是 Tukey 等价于 [𝔠]^{<ω}。此外，在假设 cf(κ) = κ ≤ p = 𝔠 的条件下，证明了存在一个超滤子，其 Tukey 等价于 [𝔠]^{<κ}，并给出了两个 ZFC 结果，排除了 ω 上超滤子可能的某些 Tukey 类。

ABSTRACT

Motivated by a question of Isbell, we show that Jensen's Diamond Principle implies there is a non-P-point ultrafilter U on omega such that U, whether ordered by reverse inclusion or reverse inclusion mod finite, is not Tukey equivalent to the finite sets of reals ordered by inclusion. We also show that, for every regular infinite kappa not greater than 2^{aleph_0}, if MA_{sigma-centered} holds, then some ultrafilter U on omega, ordered by reverse inclusion mod finite, is Tukey equivalent to the sets of reals of size less than kappa, ordered by inclusion. We also prove two negative ZFC results about the possible Tukey classes of ultrafilters on omega.

研究动机与目标

• 在各种集合论假设下，对 ω 上超滤子的可能 Tukey 类型进行分类。
• 回应 Isbell 关于所有大小为 ω₁ 的有向集是否都 Tukey 等价于五种已知类型之一的问题。
• 确定哪些 Tukey 类可以从超滤子上的反向包含或几乎处处包含序中产生。
• 建立关于具有特定共面数和 Tukey 结构的超滤子存在的相容性和 ZFC 结果。

提出的方法

• 使用 Diamond 原则 (♦) 构造一个非 P-点超滤子 𝒰，使得 ⟨𝒰, ⊇⟩ 和 ⟨𝒰, ⊇*⟩ 不与 ⟨[𝔠]^{<ω}, ⊆⟩ Tukey 等价。
• 通过使用 Cohen 通用性和伪交集的递归构造，构建一个具有强有限交性质（SFIP）和 𝝸-类似结构的半滤子。
• 应用 Solovay 的引理，从无限集族中提取伪交集，以确保构造中的通用性和共面控制。
• 使用 Tukey 可约性准则：映射 f 是 Tukey 的当且仅当有界集的原像也是有界的；且 P ≤_T Q 当且仅当存在映射 g: Q → P，使得 cofinal 集的像仍是 cofinal。
• 在假设 cf(κ) = κ ≤ p = 𝔠 的条件下，通过单射和伪交集选择，构造 ⟨𝒰, ⊇*⟩ 与 ⟨[𝔠]^{<κ}, ⊆⟩ 之间的 Tukey 等价。
• 应用拓扑不变性：在开连续映射下，某点的局部基的 Tukey 类保持不变，从而将拓扑与 Tukey 理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 ♦ 是否蕴含存在一个非 P-点超滤子 𝒰，使得 ⟨𝒰, ⊇⟩ 和 ⟨𝒰, ⊇*⟩ 不与 ⟨[𝔠]^{<ω}, ⊆⟩ Tukey 等价？
• RQ2 仅在 ZFC 下是否蕴含存在一个超滤子 𝒰，使得 ⟨𝒰, ⊇*⟩ 与 ⟨[𝔠]^{<κ}, ⊆⟩ Tukey 等价，其中 κ 满足 cf(κ) = κ ≤ p = 𝔠？
• RQ3 ZFC 是否蕴含不存在任何 ω 上的超滤子，其 Tukey 类型严格低于 ⟨[𝔠]^{<ω}, ⊆⟩？
• RQ4 ♦ 是否蕴含存在 uncountably many 两两 Tukey 不等价的超滤子，关于 ⊇*？
• RQ5 在假设 ω₁ < 𝔪 的前提下，是否存在一致性使得某个超滤子 𝒰 满足 ⟨𝒰, ⊇*⟩ ≡_T ω₁ × 𝔠？

主要发现

• 在 ♦ 下，存在一个非 P-点超滤子 𝒰，使得 ⟨𝒰, ⊇⟩ 和 ⟨𝒰, ⊇*⟩ 均不与 ⟨[𝔠]^{<ω}, ⊆⟩ Tukey 等价。
• 在假设 cf(κ) = κ ≤ p = 𝔠 的条件下，存在一个超滤子 𝒰，使得 ⟨𝒰, ⊇*⟩ ≡_T ⟨[𝔠]^{<κ}, ⊆⟩。
• 证明了两个 ZFC 结果：不存在超滤子能以违反共面条件的方式，拥有严格低于 ⟨[𝔠]^{<ω}, ⊆⟩ 的 Tukey 类型；且某些 Tukey 类型被排除在 ω 上超滤子的可能类型之外。
• 该构造产生了一个 P_κ-点超滤子，其结构确保通过伪交集选择与 ⟨[𝔠]^{<κ}, ⊆⟩ Tukey 等价。
• 论文表明，某点的局部基的 Tukey 类在开连续映射下是拓扑不变量，从而将拓扑与 Tukey 可约性联系起来。
• 当一族无限集的大小小于 𝔠 且满足特定交集条件时，Solovay 的引理保证了其存在伪交集。