[论文解读] Tulczyjew's Triplet for Lie Groups III : Higher Order Dynamics and Reductions for Iterated Bundles

Oğul Esen, Hasan Gümral+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用 2

一句话总结

本文将 Tulczyjew 的三元组形式化推广至李群的迭代丛上的高阶动力系统，利用保持群结构与辛结构的典范平凡化。通过在 $T^*TG$、$T^*T^*G$ 和 Tulczyjew 空间 $TT^*G$ 上采用哈密顿与拉格朗日形式化，推导出高阶欧拉-泊松松方程与李-泊松方程，经由子群 $G$、$\mathfrak{g}$、$\mathfrak{g}^*$ 及其半直积的系统性约化，得到具有几何一致性与守恒律的广义动力系统。

ABSTRACT

Given a Lie group $G$, we elaborate the dynamics on $T^*T^*G$ and $T^*TG$, which is given by a Hamiltonian, as well as the dynamics on the Tulczyjew symplectic space $TT^*G$, which may be defined by a Lagrangian or a Hamiltonian function. As the trivializations we adapted respect the group structures of the iterated bundles, we exploit all possible subgroup reductions (Poisson, symplectic or both) of higher order dynamics.

研究动机与目标

• 开发一种用于李群的迭代切丛与余切丛上高阶动力系统的几何框架，将 Tulczyjew 三元组形式化从一阶系统推广至更高阶。
• 利用 $T^*TG$、$T^*T^*G$ 和 $TT^*G$ 的典范平凡化，保留李群与辛结构，实现一致的动力学表述。
• 通过子群 $G$、$\mathfrak{g}$、$\mathfrak{g}^*$ 及其半直积的泊松与辛约化，系统性地约化高阶哈密顿与拉格朗日动力系统。
• 通过辛微分同胚与泊松映射，在 $TT^*G$、$T^*TG$ 与 $T^*T^*G$ 之间建立动力学的对应关系。
• 通过高阶迭代丛上的变分原理，将一阶欧拉-泊松松方程推广为高阶形式。

提出的方法

• 利用 $T^*TG \simeq (G \ltimes \mathfrak{g}) \ltimes (\mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{g}^*)$、$T^*T^*G \simeq (G \ltimes \mathfrak{g}^*) \ltimes (\mathfrak{g}^* \ltimes \mathfrak{g})$ 与 $TT^*G \simeq (G \ltimes \mathfrak{g}^*) \ltimes (\mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{g}^*)$ 的平凡化，尊重底层李群与辛结构。
• 通过涉及协变导数、伴随与共伴作用及右不变向量场的分量哈密顿方程，推导 $T^*TG$ 与 $T^*T^*G$ 上的哈密顿动力系统。
• 在 $TT^*G$ 上应用拉格朗日动力系统，利用基于平凡化丛上右不变向量场的变分原理，导出具有非平凡结构常数的欧拉-拉格朗日方程。
• 通过子群 $G$、$\mathfrak{g}$、$\mathfrak{g}^*$、$G \ltimes \mathfrak{g}$ 与 $G \ltimes \mathfrak{g}^*$ 的约化，结合 Marsden-Weinstein 与泊松约化技术，获得约化后的动力系统。
• 在 $TT^*G$、$T^*TG$ 与 $T^*T^*G$ 之间建立辛微分同胚与泊松映射，以关联其动力学并确保几何一致性。
• 通过 Noether 定理识别守恒量，表明 $\left\langle \frac{\delta E}{\delta \xi}, \xi \right\rangle + \left\langle \frac{\delta E}{\delta \nu}, \nu \right\rangle - E$ 沿 $TT^*G$ 上欧拉-拉格朗日方程的解为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用典范平凡化，在李群 $G$ 的迭代丛 $T^*TG$、$T^*T^*G$ 与 $TT^*G$ 上一致地表述高阶动力系统？
• RQ2 在这些高阶丛上，拉格朗日与哈密顿动力系统会导出何种广义欧拉-泊松松方程？
• RQ3 通过子群 $G$、$\mathfrak{g}$、$\mathfrak{g}^*$ 及其半直积进行的辛与泊松约化，如何影响动力系统的结构与解？
• RQ4 在 $T^*TG$、$T^*T^*G$ 与 $TT^*G$ 上的动力系统之间存在何种几何对应关系？它们如何通过辛微分同胚与泊松映射相互关联？
• RQ5 在 $TT^*G$ 上拉格朗日的变分结构中，会涌现出何种守恒量？它们与系统对称性有何关联？

主要发现

• 本文推导出 $TT^*G$ 上的平凡化欧拉-拉格朗日方程为 \\n \frac{d}{dt} \left\langle \frac{\delta E}{\delta \xi}, \eta \right\rangle = \left\langle T^*_e R_g \frac{\delta E}{\delta g}, \eta \right\rangle - \left\langle \text{ad}^*_{\delta E/\delta \mu} \mu, \eta \right\rangle + \left\langle \text{ad}^*_\xi \frac{\delta E}{\delta \xi}, \eta \right\rangle - \left\langle \text{ad}^*_{\delta E/\delta \nu} \nu, \eta \right\rangle \\n \text{与} \\n \frac{d}{dt} \left\langle \frac{\delta E}{\delta \nu}, \lambda \right\rangle = \left\langle \frac{\delta E}{\delta \mu}, \lambda \right\rangle + \left\langl...\text{（此处省略部分以保持简洁）}
• 证明了量 $\left\langle \frac{\delta E}{\delta \xi}, \xi \right\rangle + \left\langle \frac{\delta E}{\delta \nu}, \nu \right\rangle - E$ 沿 $TT^*G$ 上欧拉-拉格朗日方程的解为常数，推广了一阶系统中的能量守恒。
• 当拉格朗日 $E$ 与基群变量 $g$ 无关时，$\mathfrak{g}_2 \ltimes \mathfrak{g}_3^*$ 上的约化欧拉-泊松松方程为 \\n \frac{d}{dt} \left\langle \frac{\delta E}{\delta \xi}, \eta \right\rangle = \left\langle \text{ad}^*_\xi \frac{\delta E}{\delta \xi}, \eta \right\rangle - \left\langle \text{ad}^*_{\delta E/\delta \nu} \nu, \eta \right\rangle \\n \text{与} \\n \frac{d}{dt} \left\langle \frac{\delta E}{\delta \nu}, \lambda \right\rangle = - \left\langle \text{ad}_\xi \frac{\delta E}{\delta \nu}, \lambda \right\rangle，
• 通过 $G \ltimes \mathfrak{g}^*$ 约化，得到 $\mathfrak{g}_2 \ltimes \mathfrak{g}_3^*$ 上的欧拉-泊松松方程，表明李代数层面的动力系统遵循与一阶理论相同的结构，但包含高阶项。
• $T^*TG$ 与 $T^*T^*G$ 上的哈密顿动力系统被证明等价于涉及右不变向量场与共伴作用的四分量哈密顿方程，且在平凡化坐标下给出了辛结构的显式表达式。
• 本文证明，Tulczyjew 辛空间 $TT^*G$ 同时支持拉格朗日与哈密顿形式化，且通过 $G$-作用约化所获得的约化动力系统，恢复了文献 [16] 中先前研究的约化 Tulczyjew 三元组。