[论文解读] Tunable Eigenvector-Based Centralities for Multiplex and Temporal Networks

Dane Taylor, Mason A. Porter+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2019

Complex Network Analysis Techniques被引用 4

一句话总结

本文通过使用通过层间邻接矩阵 $\tilde{\bm{A}}$ 将层特定中心性矩阵耦合的超中心性矩阵 $\tilde{\bm{C}}$，将 PageRank 和枢纽/权威得分推广，提出了一种可调节的基于特征向量的中心性框架，适用于多层网络和时序网络。关键贡献在于通过奇异摄动分析揭示，在弱耦合和强耦合极限下，超中心性排序关键取决于 $\tilde{\bm{A}}$ 的主导左、右特征向量，从而统一了多层网络类型中的中心性分析。

ABSTRACT

Characterizing the importances (i.e., centralities) of nodes in social, biological, and technological networks is a core topic in both network science and data science. We present a linear-algebraic framework that generalizes eigenvector-based centralities, including PageRank and hub/authority scores, to provide a common framework for two popular classes of multilayer networks: multiplex networks (which have layers that encode different types of relationships) and temporal networks (in which the relationships change over time). Our approach involves the study of joint, marginal, and conditional "supracentralities" that one can calculate from the dominant eigenvector of a supracentrality matrix [Taylor et al., 2017], which couples centrality matrices that are associated with individual network layers. We extend this prior work (which was restricted to temporal networks with layers that are coupled by adjacent-in-time coupling) by allowing the layers to be coupled through a (possibly asymmetric) interlayer-adjacency matrix $\ ilde{{\\bf A}}$, where the entry $\ ilde{A}_{tt'} \\geq 0$ encodes the coupling between layers $t$ and $t'$. Our framework provides a unifying foundation for centrality analysis of multiplex and temporal networks; it also illustrates a complicated dependency of the supracentralities on the topology and weights of interlayer coupling. By scaling $\ ilde{{\\bf A}}$ by an interlayer-coupling strength $\\omega\\ge0$ and developing a singular perturbation theory for the limits of weak ($\\omega\ o0^+$) and strong coupling ($\\omega\ o\\infty$), we also reveal an interesting dependence of supracentralities on the dominant left and right eigenvectors of $\ ilde{{\\bf A}}$.

研究动机与目标

• 在单一数学框架下统一多层网络和时序网络中的基于特征向量的中心性度量（如 PageRank 和枢纽/权威得分）。
• 通过使用加权层间邻接矩阵 $\tilde{\bm{A}}$ 允许任意（可能非对称）的层间耦合，推广先前关于时序网络的工作。
• 分析超中心性排序对层间耦合拓扑结构和权重的依赖性，特别是在弱耦合和强耦合极限下的表现。
• 为超中心性矩阵的主导特征向量建立奇异摄动理论，作为层间耦合强度 $\omega$ 的函数。
• 使用真实世界数据（包括一个航空网络和学术招聘网络）进行理论和实证验证。

提出的方法

• 形式化定义一个超中心性矩阵 $\tilde{\mathbb{C}}(\epsilon)$，通过加权层间邻接矩阵 $\tilde{\bm{A}}$ 将各层中心性矩阵耦合，耦合强度 $\omega$ 通过小参数 $\epsilon$ 缩放。
• 对超中心性矩阵 $\tilde{\mathbb{C}}(\epsilon)$ 的主导特征向量问题应用奇异摄动理论，将特征值 $\tilde{\lambda}_{\rm{max}}(\epsilon)$ 和特征向量 $\tilde{\mathbbm{u}}(\epsilon)$、$\tilde{\mathbbm{v}}(\epsilon)$ 按 $\epsilon$ 的幂级数展开。
• 基于未耦合层矩阵和耦合矩阵 $\tilde{\bm{A}}$ 的谱性质，推导右、左主导特征向量的零阶和一阶方程。
• 通过投影到 $\tilde{\bm{A}}$ 的左、右主导特征空间，建立可解性条件，从而导出系数向量 $\tilde{\bm{\alpha}}$ 和 $\tilde{\bm{\beta}}$ 的特征值问题。
• 利用所得的渐近展开式，证明在弱耦合和强耦合极限下，超中心性排序由 $\tilde{\bm{A}}$ 的主导左、右特征向量决定。
• 在两个实证数据集上验证该框架：一个欧洲航空多层网络和一个美国大学学术招聘与毕业的时序网络。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将基于特征向量的中心性推广到具有任意层间耦合的多层网络和时序网络？
• RQ2 超中心性排序对层间邻接矩阵 $\tilde{\bm{A}}$ 的结构和权重有何依赖性？
• RQ3 在弱耦合和强耦合极限下，超中心性排序的行为如何？
• RQ4 $\tilde{\bm{A}}$ 的主导左、右特征向量在决定超中心性向量渐近行为中起什么作用？
• RQ5 所提出的框架能否统一并扩展多层网络中现有的中心性度量（如 PageRank 和枢纽/权威得分）？

主要发现

• 在弱耦合极限（$\omega \to 0^+$）下，超中心性向量渐近地由层间邻接矩阵 $\tilde{\bm{A}}$ 的主导右特征向量决定。
• 在强耦合极限（$\omega \to \infty$）下，超中心性向量渐近地由层间邻接矩阵 $\tilde{\bm{A}}$ 的主导左特征向量决定。
• 主导特征值 $\tilde{\lambda}_{\rm{max}}(\epsilon)$ 的一阶修正依赖于 $\tilde{\bm{A}}$ 的主导左、右特征向量之间的内积。
• 该框架揭示了即使在各层中心性固定的情况下，超中心性仍对层间耦合的拓扑结构存在非平凡依赖。
• 在欧洲航空网络上的实证应用表明，层间耦合强度和结构显著改变了节点排序，尤其对具有多模态连通性的枢纽节点影响显著。
• 在学术招聘网络中，该框架识别出关键的时间过渡点以及其中心性随耦合强度剧烈变化的关键机构，揭示了动态影响模式。