[论文解读] Tur\'an number of theta graphs

Boris Bukh, Michael Tait|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文确定了theta图 $Θ_{\ell,t}$ 的Turan数，证明当固定奇数 $\ell$ 且 $t$ 足够大时，不包含 $Θ_{\ell,t}$ 的图中边数的最大值渐近为 $c_\ell t^{1-1/\ell}n^{1+1/\ell}$，其中常数 $c_\ell$ 除外，且该界限的紧致性（除常数因子外）得以确立。

ABSTRACT

The theta graph $\Theta_{\ell,t}$ consists of two vertices joined by $t$ vertex-disjoint paths of length $\ell$ each. For fixed odd $\ell$ and large $t$, we show that the largest graph not containing $\Theta_{\ell,t}$ has at most $c_{\ell} t^{1-1/\ell}n^{1+1/\ell}$ edges and that this is tight apart from the value of $c_{\ell}$.

研究动机与目标

• 确定不包含子图 $\Theta_{\ell,t}$ 的图中边数的极值数量。
• 为固定奇数 $\ell$ 和大 $t$ 的 $\Theta_{\ell,t}$ 的Turan数建立紧致的渐近界。
• 解析 $\Theta_{\ell,t}$ 的极值函数的渐近增长速率，相差一个乘法常数 $c_\ell$。
• 证明边数的上界是紧致的，仅相差常数 $c_\ell$ 的取值。

提出的方法

• 分析 $\Theta_{\ell,t}$ 的结构，其定义为两个顶点之间由 $t$ 条长度均为 $\ell$ 的顶点不相交路径连接。
• 应用极值图论技术，对不包含 $\Theta_{\ell,t}$ 的图的边数进行上界估计。
• 通过概率和组合论证，推导出Turan数的上界为 $c_\ell t^{1-1/\ell}n^{1+1/\ell}$ 阶。
• 通过构造达到渐近增长速率（相差常数 $c_\ell$）的图，证明该边界的紧致性。
• 依赖于 $\ell$ 为奇数的假设，这对结构分析和极值构造至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定奇数 $\ell$ 和大 $t$，不包含 $\Theta_{\ell,t}$ 子图的图中，边数的最大值是多少？
• RQ2 在 $n$、$t$ 和 $\ell$ 的表达下，$\Theta_{\ell,t}$ 的Turan数如何渐近增长？
• RQ3 对 $\Theta_{\ell,t}$ 的Turan数的上界是否紧致，相差一个乘法常数 $c_\ell$？
• RQ4 $\Theta_{\ell,t}$ 的哪些结构特性使得能够实现如此精确的渐近刻画？

主要发现

• 对于固定奇数 $\ell$ 和大 $t$，$\Theta_{\ell,t}$ 的Turan数至多为 $c_\ell t^{1-1/\ell}n^{1+1/\ell}$ 条边。
• 该上界是渐近紧致的，即存在不包含 $\Theta_{\ell,t}$ 的图，其边数至少为 $\Omega(t^{1-1/\ell}n^{1+1/\ell})$。
• 该界限紧致，仅相差常数 $c_\ell$ 的取值，而该常数在本文中仍未确定。
• 该结果精确确定了 $\Theta_{\ell,t}$ 的极值函数的渐近增长速率，解决了其数量级。