[论文解读] Turán-type and tiling problems in oriented graphs

Ming Chen, Wenxu Lu+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用 0

一句话总结

本文将 Turán 型与镶嵌结果从 C3 镶嵌推广到 D_{a,b,c}-镶嵌在大型有定向图中，且最小半度近似 n/2，并证明近似完美的镶嵌与稳定性；同时给出环和路径幂的半度阈值下界。

ABSTRACT

Given $a,b,c\in\mathbb N$, let $D_{a,b,c}$ be the tournament on $a+b+c$ vertices obtained by replacing the vertices of the directed triangle $C_3$ with transitive tournaments $TT_a$, $TT_b$, and $TT_c$, respectively. Keevash and Sudakov (2009) showed that every sufficiently large oriented graph $G$ on $n$ vertices with $δ^{0}(G)\geqslant (1/2-o(1))n$ contains a $C_3$-tiling, equivalently a $D_{1,1,1}$-tiling, covering all but at most three vertices. We generalize this result to arbitrary blow-ups $D_{a,b,c}$. Specifically, for any fixed $a,b,c$, every sufficiently large oriented graph $G$ on $n$ vertices with $δ^{0}(G)\geqslant (1/2-o(1))n$ contains a $D_{a,b,c}$-tiling covering all but at most $2(a+b+c)-3$ vertices. Moreover, this bound is essentially sharp. We also establish a stronger stability result: if $(a+b+c)\mid n$, then either $G$ contains a $D_{a,b,c}$-factor, or $G$ is close to an extremal graph. Our interest in $D_{a,b,c}$ is also motivated by oriented Turán theory: a seminal theorem of Bollobás and Häggkvist (1990) shows that a tournament $T$ is Turánable (i.e., contained in every sufficiently large regular tournament) if and only if $T\subseteq D_{s,s,s}$ for some $s$. Complementing our tiling results, we also investigate related semi-degree thresholds for powers of directed cycles and paths. In particular, we present two $n$-vertex constructions that give lower bounds, showing that the minimum semi-degree thresholds for $C^2_l$ with $l ot\equiv 0\pmod 6$ and for $P^2_l$ with $l\geqslant 7$ are at least $4n/9$ and $3n/8$, respectively.

研究动机与目标

• 将 C3-镶嵌结果推广到 D_{a,b,c}-镶嵌与 -因子，在大型有向图中满足近半正则性的条件。
• 建立近似完美镶嵌：任意大型有向图若 δ^0(G) >= (1/2 - o(1))n，则含有覆盖除 2(a+b+c)-3 顶点外的 D_{a,b,c}-镶嵌。
• 证明更强的稳定性结果：在可整除性条件下，要么存在 D_{a,b,c}-因子，要么 G 接近一个极值结构。
• 研究有向环与有向路径的幂的半度阈值，给出新的下界构造。

提出的方法

• 将 D_{a,b,c} 家族定义并作为有向三角形的爆炸（包含 TT_a、TT_b、TT_c），并进行研究。
• 使用吸收方法得到 D_{a,b,c}-因子的吸收集（引理 5.2–5.3）。
• 对有向图应用正则性引理（Diregularity Lemma）及化简有向图技巧，将 D_{a,b,c} 嵌入 G 中。
• 建立 (H,β,t)-闭合顶点集和连结技术的框架，以实现几乎覆盖并扩展到全镶嵌。
• 建立极值与稳定性结构（γ-极值与 γ-超极值划分）以处理近极值情形。
• 依赖同余与 gcd-type 条件来判定何时能保证 D_{a,b,c}-因子（定理 1.4 与 1.5）。

实验结果

研究问题

• RQ1 要保证 D_{a,b,c}-镶嵌或 -因子，在大型有向图中需要的最小半度（渐近）是多少？
• RQ2 在大型半正则性锦标赛中，在何种 gcd 与可整除条件下存在 D_{a,b,c}-因子？
• RQ3 若在近正则条件下未包含 D_{a,b,c}-因子，一个图能离极值结构有多近？
• RQ4 有向环与有向路径幂的半度阈值下界是什么，与已有猜想相比如何？
• RQ5 D_{a,b,c} 鏈镶嵌在多大程度上连接了环镶嵌与传递性锦标赛镶嵌问题？

主要发现

• 对于任意固定的 a,b,c，任意足够大的有向图 G，δ^0(G) >= (1/2 - o(1))n 时，存在覆盖最多不超过 2(a+b+c)-3 顶点的 D_{a,b,c}-镶嵌。
• 若 (a+b+c) 整除 n，则要么 G 含有 D_{a,b,c}-因子，要么 G 接近一个极值 γ-极值结构。
• 两条基于 gcd 的条件确保在大型半正则锦标赛中存在 D_{a,b,c}-因子：gcd(a+b+c,c^2 - ab) = 1（当 a≥2 时）以及 gcd(1+b+c,c^2 - b) = 1（当 a=1 时）。
• 命题表明当 gcd(a+b+c,c^2 - ab) > 1 时存在不含 D_{a,b,c}-因子的半正则锦标赛（相应地对 D_{1,b,c} 当 gcd(1+b+c,c^2 - b) > 1 时亦成立）。
• 论文给出下界构造：对于 l 不是 6 的倍数，κ^0(C_l^2) ≥ 4/9；对于 l≥7 的 P_l^2，κ^0(P_l^2) ≥ 3/8。
• 基于吸收引理的方法导出 Almost Covering Lemma：在近似正则度下，D_{a,b,c}-镶嵌覆盖了全部但一小部分，可以在最后一步完成成一个因子。