[论文解读] Turbulence Modeling via the Fractional Laplacian

Brenden P. Epps, Benoı̂t Cushman-Roisin|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 29被引用 25

一句话总结

本文基于玻尔兹曼输运理论与 Lévy α-稳定分布，从第一性原理推导出分数阶拉普拉斯算子，用非局部的分数阶拉普拉斯算子替代纳维-斯托克斯方程中的标准粘性项，以捕捉湍流中长程动量传递。当 α=1 时，该模型恢复了壁面律的对数律，为传统涡粘度模型提供了一种物理解释清晰的替代方案。

ABSTRACT

Herein, we derive the fractional Laplacian operator as a means to represent the mean friction force arising in a turbulent flow: $ ρ\frac{D\bar{\bf u}}{Dt} = - abla p + μ_α abla^2\bar{\bf u} + ρC_α\iiint_{\!-\infty}^\infty \frac{ \bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x}')} - \bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x})} }{|{\bf x}'-{\bf x}|^{α+3}} \,d{\bf x}' $, where $\bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x})}$ is the ensemble-averaged velocity field, $μ_α$ is an enhanced molecular viscosity, and $C_α$ is a turbulent mixing coefficient (with units (length)$^α$/(time)). The derivation is grounded in Boltzmann kinetic theory, which presumes an equilibrium probability distribution $f_α^{eq}(t,{\bf x},{\bf u})$ of particle speeds. While historically $f_α^{eq}$ has been assumed to be the Maxwell-Boltzmann distribution, we show that any member of the family of Lévy $α$-stable distributions is a suitable alternative. If $α=2$, then $f^{eq}_α$ is the Maxwell-Boltzmann distribution, with large particle speeds very unlikely, and the Navier-Stokes equations are recovered (with $μ_α= μ$ and $C_α= 0$). If $0 < α< 2$, then $f^{eq}_α$ is a Lévy $α$-stable distribution, with "heavy tails" that permit large velocity fluctuations, as in turbulence. For shear turbulent flows, the choice of $α= 1$ (Cauchy distribution for $f_α^{eq}$) leads to the logarithmic velocity profile known as the Law of the Wall. We also present examples of 1D Couette flow and 2D boundary layer flow, and we discuss turbulent transport within this kinetic theory framework. This work lays out a new framework for turbulence modeling that may lead to new fundamental understanding of turbulent flows.

研究动机与目标

• 基于第一性原理开发一种非局部湍流模型，避免经验性闭合假设。
• 用从输运理论推导出的分数阶拉普拉斯算子替代纳维-斯托克斯方程中的粘性项。
• 证明 Lévy α-稳定分布可自然描述具有重尾的湍流速度脉动。
• 证明当 α=1 时，可重现剪切流中的对数速度分布（壁面律）。
• 建立基于非局部、长程相互作用的湍流输运框架。

提出的方法

• 在克努森数较小、不可压且等温流动的假设下，从玻尔兹曼输运方程推导分数阶拉普拉斯算子。
• 将 Lévy α-稳定分布用作粒子速度的平衡概率分布，其中 α∈(0,2) 可实现重尾波动。
• 应用分数阶拉普拉斯算子的奇异积分形式：$\mathcal{L}_{n}u(\mathbf{x}) = L_{\alpha,n} \text{P.V.} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{\bar{u}(\mathbf{x}') - \bar{u}(\mathbf{x})}{|\mathbf{x}' - \mathbf{x}|^{\alpha+n}} d\mathbf{x}'$。
• 推导归一化常数 $L_{\alpha,n} = \frac{2^\alpha \Gamma((\alpha+n)/2)}{\pi^{n/2} |\Gamma(-\alpha/2)|}$，并将其与 Lévy 分布的尾部行为关联。
• 将该模型应用于一维库埃特流与二维边界层流，验证其与已知湍流速度剖面的一致性。
• 证明当对较少空间维度的变量进行积分时，分数阶拉普拉斯算子可自然约化为低维子空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数阶拉普拉斯算子能否从输运理论中推导出来，作为湍流摩擦的表征？
• RQ2 使用 Lévy α-稳定分布作为粒子速度的平衡分布，能否产生一致的湍流模型？
• RQ3 该模型能否重现剪切流中的对数速度剖面（壁面律）？
• RQ4 与局部涡粘度模型相比，分数阶拉普拉斯算子的非局部性在捕捉湍流动量传递方面有何优势？
• RQ5 在多尺度流动中，当维度降低时，分数阶拉普拉斯算子在数学与物理上是否保持一致？

主要发现

• 当假设粒子速度的平衡分布为 Lévy α-稳定分布时，分数阶拉普拉斯算子自然地从玻尔兹曼输运理论中涌现。
• 当 α=2 时，该模型退化为经典纳维-斯托克斯方程，具有标准粘性且湍流系数为零。
• 当 α=1 时，该模型在壁面剪切流中重现了对数速度剖面，对应于壁面律。
• 分数阶拉普拉斯算子通过长程相互作用捕捉非局部动量传递，与异常扩散和 Lévy 运动一致。
• 分数阶拉普拉斯算子中的归一化常数 $L_{\alpha,n}$ 与 Lévy α-稳定分布的尾部参数相匹配，确保了内在一致性。
• 当速度场依赖于较少空间变量（如库埃特流）时，该模型允许分数阶拉普拉斯算子的维数一致约化。