[论文解读] Turbulent flows as generalized Kelvin-Voigt materials: modeling and analysis

Chérif Amrouche, Luigi C. Berselli+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 29被引用 27

一句话总结

该论文提出了一种新型建模框架，用于三维不可压缩湍流流动，将流动视为广义Kelvin-Voigt粘弹性材料，其中Prandtl混合长度ℓ(x)随空间变化并在壁面处趋于零。该模型引入正则化项−α∇·(ℓ(x)Dvₜ)以增强解的正则性，首次通过截断和紧致性论证，严格证明了带有二次源项的雷诺平均Navier-Stokes-湍流动能（RANS-TKE）系统的正则弱解的存在性与唯一性。

ABSTRACT

We model a 3D turbulent fluid, evolving toward a statistical equilibrium, by adding to the equations for the mean field $(v, p)$ a term like $-\\alpha \ abla\\cdot(\\ell(x) D v_t)$. This is of the Kelvin-Voigt form, where the Prandtl mixing length $\\ell$ is not constant and vanishes at the solid walls. We get estimates for velocity $v$ in $L^\\infty_t H^1_x \\cap W^{1,2}_t H^{1/2}_x$, that allow us to prove the existence and uniqueness of a regular-weak solutions $(v, p)$ to the resulting system, for a given fixed eddy viscosity. We then prove a structural compactness result that highlights the robustness of the model. This allows us to pass to the limit in the quadratic source term in the equation for the turbulent kinetic energy $k$, which yields the existence of a weak solution to the corresponding Reynolds Averaged Navier-Stokes system satisfied by $(v, p, k)$.

研究动机与目标

• 通过将Kelvin-Voigt粘弹性框架扩展至包含空间变化的Prandtl混合长度ℓ(x)，发展一个数学上严谨的三维不可压缩湍流流动建模方法。
• 针对由湍流动能k决定的涡粘度ν_turb(ℓ(x))的雷诺平均Navier-Stokes系统，建立正则弱解的存在性与唯一性。
• 解决湍流动能（TKE）方程中二次源项ν_turb(k)|Dv|²仅在L¹(Q_T)中先验有界的挑战。
• 通过引入基于截断的正则化与紧致性论证，证明全NSTKE系统弱解的存在性。

提出的方法

• 在平均动量方程中引入广义Kelvin-Voigt项−α∇·(ℓ(x)Dvₜ)，其中ℓ(x)为在边界处趋于零的C¹函数。
• 利用能量不等式与TKE方程，推导出雷诺应力的本构关系：σᴿ = −αℓDvₜ − ν_turbDv + (2/3)k Id。
• 对二次源项ν_turb(k)|Dv|²与初始数据应用截断过程Tₙ，以确保可积性并支持不动点迭代。
• 采用Leray-Schauder不动点定理，从k⁰ ≡ 0出发，迭代求解正则化系统。
• 通过紧致性与一致有界性，建立kⁿ在L^q(0,T;W₀^{1,q})中的弱收敛性及在Q_T上几乎处处收敛性。
• 利用引理5.1，在二次源项中取极限，证明其在测度意义下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有空间变化混合长度ℓ(x)的广义Kelvin-Voigt模型能否为趋向统计平衡的湍流流动提供数学上可靠的建模框架？
• RQ2 当涡粘度ν_turb(k)依赖于湍流动能k时，如何证明RANS系统正则弱解的存在性与唯一性？
• RQ3 何种数学技术可克服TKE方程中二次源项ν_turb(k)|Dv|²仅属于L¹(Q_T)的可积性问题？
• RQ4 是否可通过截断迭代格式的极限过程，恢复全NSTKE系统的弱解？
• RQ5 该模型的结构紧致性是否允许在最小正则性假设下，实现非线性项的极限收敛？

主要发现

• 模型引入了具有物理解释的正则化项−α∇·(ℓ(x)Dvₜ)，增强了速度的正则性，使解属于L∞ₜH¹ₓ ∩ W¹,²ₜH¹/²ₓ。
• 在ℓ(x) ∈ C¹(Ω̅)且在边界处趋于零的假设下，证明了固定涡粘度ν_turb的RANS系统正则弱解(v,p)的存在性与唯一性。
• 通过截断Tₙ处理二次源项ν_turb(k)|Dv|²，使紧致性论证得以应用，从而在迭代格式中实现极限过程的通过。
• 在L^q(0,T;W₀^{1,q})中对所有1 ≤ q < 5/4，以及在Q_T上几乎处处，建立了kⁿ对k的弱收敛性，确保了TKE方程弱解的存在性。
• 截断源项Tₙ(ν_turb(kⁿ)|Dvⁿ|²)的极限收敛于ν_turb(k)|Dv|²，且收敛意义为测度，从而实现了全NSTKE系统的恢复。
• 模型的结构紧致性确保了鲁棒性，使得在无需闭合假设下可实现极限过程，且解满足能量不等式。