[论文解读] Turing and wave instabilities in hyperbolic reaction-diffusion systems: The role of second-order time derivatives and cross-diffusion terms on pattern formation

Joshua Ritchie, Andrew L. Krause+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2022

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 54被引用 26

一句话总结

本文研究了具有二阶时间导数和交叉扩散项的双曲型反应-扩散系统中的图灵不稳定性和波不稳定性。推导了这两种不稳定的必要与充分条件，表明时间导数仅限制图灵图案的参数区域而不改变其形式，同时使波不稳定性成为可能——这类时空模式在经典系统中并不存在。关键的是，波不稳定性发生的条件与图灵图案互斥，即使激活剂扩散快于抑制剂，也能实现对称性破缺。

ABSTRACT

Hyperbolic reaction-diffusion equations have recently attracted attention both for their application to a variety of biological and chemical phenomena, and for their distinct features in terms of propagation speed and novel instabilities not present in classical two-species reaction-diffusion systems. We explore the onset of diffusive instabilities and resulting pattern formation for such systems. Starting with a rather general formulation of the problem, we obtain necessary and sufficient conditions for the Turing and wave instabilities in such systems, thereby classifying parameter spaces for which these diffusive instabilities occur. We find that the additional temporal terms do not strongly modify the Turing patterns which form or parameters which admit them, but only their regions of existence. This is in contrast to the case of additional space derivatives, where past work has shown that resulting patterned structures are sensitive to second-order cross-diffusion and first-order advection. We also show that additional temporal terms are necessary for the emergence of spatiotemporal patterns under the wave instability. We find that such wave instabilities exist for parameters which are mutually exclusive to those parameters leading to stationary Turing patterns. This implies that wave instabilities may occur in cases where the activator diffuses faster than the inhibitor, leading to routes to spatial symmetry breaking in reaction-diffusion systems which are distinct from the well studied Turing case.

研究动机与目标

• 对一般双曲型反应-扩散系统中图灵不稳定性和波不稳定性发生的条件进行分类。
• 确定二阶时间导数和交叉扩散项对涌现图案的可行性与结构的影响。
• 对比时间与空间高阶导数在塑造图案形成动力学中的作用。
• 识别波不稳定性出现的参数区域，这些区域在经典抛物型系统中是不可能存在的。
• 探讨这些不稳定性对生物与物理图案形成的意义，特别是对违反经典图灵假设的情形（如激活剂扩散更快）的影响。

提出的方法

• 构建一个包含二阶时间导数和交叉扩散项的一般双物种双曲型反应-扩散系统：τ₁∂²u/∂t² = ∇·(d₁₁∇u + d₁₂∇v) + f(∂u/∂t, ∂v/∂t, u, v)，τ₂∂²v/∂t² = ∇·(d₂₁∇u + d₂₂∇v) + g(∂u/∂t, ∂v/∂t, u, v)。
• 对均匀稳态应用线性稳定性分析，推导出色散关系和不稳定性特征值条件。
• 推导图灵不稳定性（空间异质性静止图案）和波不稳定性（时空振荡图案）的必要与充分条件。
• 利用Cattaneo-Christov通量定律和反应-telegraph方程形式，从物理原理出发解释双曲结构的合理性。
• 进行完全非线性数值模拟以验证理论预测并可视化图案动力学。
• 在经典抛物型系统、含与不含交叉扩散的双曲系统以及退化情形（如标量方程）之间进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 二阶时间导数如何影响双曲型反应-扩散系统中图灵不稳定的出现时机与结构？
• RQ2 波不稳定性在何种条件下于双曲系统中出现，其与经典图灵或图灵-Hopf不稳定性有何不同？
• RQ3 当激活剂扩散快于抑制剂时，波不稳定性是否仍可发生？这如何扩展了经典图灵机制之外的图案形成范围？
• RQ4 与无此类项的系统相比，交叉扩散项如何影响图灵与波图案的可行性与形态？
• RQ5 生成通过波不稳定性产生的时空图案，系统所需的最低要求（时间导数与物种数量）是什么？

主要发现

• 二阶时间导数不改变标准图灵不稳定性的条件（3.15）–（3.16）；它们仅修改可行参数区域，可能使其缩小。
• 当加入二阶时间导数时，最终的静止图灵图案在定性上保持不变，表明图灵图案形态具有鲁棒性。
• 波不稳定性仅由二阶时间导数引发，在经典抛物型反应-扩散系统中不会出现。
• 波不稳定性存在于与支持静止图灵图案的参数区域互斥的区域中，从而允许图案形成的独立路径。
• 波不稳定性导致以单一空间波长为主导的时空振荡图案，其动力学明显不同于混沌的图灵-Hopf行为。
• 交叉扩散项显著改变了图灵与波不稳定性在可行性与不稳定性条件上的表现，并可改变涌现图案的形态，而仅靠时间导数则无法实现这种改变。