[论文解读] Turing jumps through provability

Joost J. Joosten|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2015

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过引入一个递归定义的可证明性谓词层级 $[n]^{\boxplus}_{T}$，将Friedman-Goldfarb-Harrington（FGH）定理推广，该层级提供了 $\Sigma_{n+1}$-可定义性的‘语法轻量’刻画，从而也刻画了第 $n$ 个图灵跳跃。关键结果是，这些谓词构成了多模态可证明性逻辑 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$ 的一个可靠解释，将FGH定理的适用范围从 $\Sigma_1$ 扩展到了算术层级的更高层次。

ABSTRACT

Fixing some computably enumerable theory $T$, the Friedman-Goldfarb-Harrington (FGH) theorem says that over elementary arithmetic, each $Σ_1$ formula is equivalent to some formula of the form $\Box_T φ$ provided that $T$ is consistent. In this paper we give various generalizations of the FGH theorem. In particular, for $n>1$ we relate $Σ_{n}$ formulas to provability statements $[n]_T^{\sf True}φ$ which are a formalization of "provable in $T$ together with all true $Σ_{n+1}$ sentences". As a corollary we conclude that each $[n]_T^{\sf True}$ is $Σ_{n+1}$-complete. This observation yields us to consider a recursively defined hierarchy of provability predicates $[n+1]^\Box_T$ which look a lot like $[n+1]_T^{\sf True}$ except that where $[n+1]_T^{\sf True}$ calls upon the oracle of all true $Σ_{n+2}$ sentences, the $[n+1]^\Box_T$ recursively calls upon the oracle of all true sentences of the form $\langle n angle_T^\Boxϕ$. As such we obtain a `syntax-light' characterization of $Σ_{n+1}$ definability whence of Turing jumps which is readily extended beyond the finite. Moreover, we observe that the corresponding provability predicates $[n+1]_T^\Box$ are well behaved in that together they provide a sound interpretation of the polymodal provability logic ${\sf GLP}_ω$.

研究动机与目标

• 将 FGH 定理从 $\Sigma_1$ 公式扩展到算术层级的更高层次。
• 使用可证明性谓词，对 $\Sigma_{n+1}$-可定义性及第 $n$ 个图灵跳跃提供句法刻画。
• 定义一个递归构建的可证明性概念层级 $[n]^\Box_T$，该层级推广了基于预言机的 $[n]^{\sf True}_T$ 谓词。
• 证明 $[n]^\Box_T$ 谓词为多模态逻辑 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$ 提供了一个可靠解释。

提出的方法

• 将 $[n]^\Box_T\varphi$ 定义为基于 $\langle n\rangle^\Box_T\varphi$ 的迭代应用的递归可证明性谓词，其形式化了在 $T$ 加上所有形如 $\langle n\rangle^\Box_T\psi$ 的真句子下的可证明性。
• 建立一个层级结构，其中 $[n]^\Box_T$ 模仿 $[n]^{\sf True}_T$，但将 $\Sigma_{n+2}$ 真理的预言机替换为 $\langle n\rangle^\Box_T$-公式的递归预言机。
• 通过 FGH 定理的推广，证明 $[n]^\Box_T$ 是 $\Sigma_{n+1}$-完全的。
• 使用归纳法和形式化的 FGH 推理，证明 $[n]^\Box_T$ 满足 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$ 的公理，包括 $[n]A \to [n+1]A$ 和 $\langle n\rangle A \to [n+1]\langle n\rangle A$。
• 利用形式化可证明性逻辑以及 $T$ 和 $\mathrm{EA}$ 的可靠性，建立 $[n]^\Box_T$ 与 $[n]^{\sf True}_T$ 在标准模型上等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 FGH 定理从 $\Sigma_1$ 扩展到算术层级的更高层次？
• RQ2 是否存在一种语法轻量的 $\Sigma_{n+1}$-可定义性刻画，能够捕捉第 $n$ 个图灵跳跃？
• RQ3 能否构造一个递归定义的可证明性谓词层级 $[n]^\Box_T$，使其行为与 $[n]^{\sf True}_T$ 相似？
• RQ4 $[n]^\Box_T$ 谓词是否为多模态逻辑 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$ 提供一个可靠解释？

主要发现

• 可证明性谓词 $[n]^\Box_T$ 是 $\Sigma_{n+1}$-完全的，意味着每个 $\Sigma_{n+1}$ 公式都与某个 $\varphi$ 的 $[n]^\Box_T\varphi$ 等价。
• 对所有 $n$，$[n]^\Box_T\varphi \to [n]^{\sf True}_T\varphi$ 在 $\mathrm{EA}$ 中可证明，表明 $[n]^\Box_T$ 是 $[n]^{\sf True}_T$ 的保守强化。
• 在假设 $\langle n\rangle^{\sf True}_T\top$ 成立的前提下，$[n+1]^\Box_T$ 与 $[n+1]^{\sf True}_T$ 在 $\mathrm{PA}$ 中等价。
• $[n]^\Box_T$ 谓词满足 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$ 的公理，从而在 $\mathrm{PA}$ 中为该逻辑提供了可靠解释。
• $[n]^\Box_T$ 层次在析取和合取下封闭，其形式化表现为存在某个 $\sigma$，使得 $([n]^\Box_T\varphi \vee [n]^\Box_T\psi) \leftrightarrow [n]^\Box_T\sigma$。