[论文解读] Turning Gate Synthesis Errors into Incoherent Errors

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文提出一种方法，通过在多个近似酉算符上取平均，将量子门合成中的相干误差转换为非相干误差，从而将所需门误差从 $\epsilon \lesssim 1/N$ 降低至 $\epsilon \lesssim 1/\sqrt{N}$，进而提升容错量子计算的效率。该方法利用门选择或辅助态的随机化来抑制误差累积。

ABSTRACT

Using error correcting codes and fault tolerant techniques, it is possible, at least in theory, to produce logical qubits with significantly lower error rates than the underlying physical qubits. Suppose, however, that the gates that act on these logical qubits are only approximation of the desired gate. This can arise, for example, in synthesizing a single qubit unitary from a set of Clifford and $T$ gates; for a generic such unitary, any finite sequence of gates only approximates the desired target. In this case, errors in the gate can add coherently so that, roughly, the error $ε$ in the unitary of each gate must scale as $ε\lesssim 1/N$, where $N$ is the number of gates. If, however, one has the option of synthesizing one of several unitaries near the desired target, and if an average of these options is closer to the target, we give some elementary bounds showing cases in which the errors can be made to add incoherently by averaging over random choices, so that, roughly, one needs $ε\lesssim 1/\sqrt{N}$. We remark on one particular application to distilling magic states where this effect happens automatically in the usual circuits.

研究动机与目标

• 解决量子门合成中相干误差累积的问题，即 $T$ 和 Clifford 门中的微小酉误差随电路深度线性累积。
• 通过利用多个近似酉算符的平均，降低单个门的精度要求，实现非相干误差标度。
• 表明在门实现方式或辅助态上的随机化可抑制系统性误差并提升整体电路保真度。
• 为随机化门合成提供钻石范数误差的理论界，证明其相比相干误差累积具有更优的标度性能。
• 在魔术态 distillation 和门合成中展示其实际适用性，其中由于测量结果的随机性，随机性自然产生。

提出的方法

• 从一组候选集合 $W_{i,j}$ 中随机选择接近目标门 $U_i$ 的近似酉算符 $V_i$，通过平均消除系统性误差。
• 应用迹范数和钻石范数分析，界定由于门不完善导致的最终量子态误差。
• 引入一个表示使用随机辅助态进行态注入的量子通道 $\mathcal{G}$，表明其与理想 $T$-门通道 $\mathcal{E}$ 的偏差在角度误差下为二阶。
• 推导出 $\|\mathcal{E} - \mathcal{G}\|_\diamond \lesssim \mu_2 + \mathcal{O}(\mu_4)$ 的界，其中 $\mu_2$ 为角度偏差相对于 $\pi/8$ 的方差，表明误差标度为二阶。
• 提出通过使用不同随机选择的门或辅助态重复该算法，以进一步抑制残余误差。
• 分析态注入协议中随机测量结果的影响，表明其自然地对不同门角度进行平均。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过在多个近似酉算符上取平均，能否缓解量子门合成中的相干误差累积？
• RQ2 当误差在 $N$ 个门的序列中相干叠加与非相干叠加时，所需门误差精度的标度有何不同？
• RQ3 在门实现方式或辅助态上的随机化如何影响量子电路中整体钻石范数误差？
• RQ4 在何种场景下（如魔术态 distillation）会因测量随机性而自然产生门误差的平均？
• RQ5 在门角度或辅助态存在微小偏差的情况下，能否严格界定二阶误差标度？

主要发现

• 在门合成中，相干误差累积要求门误差标度为 $\epsilon \lesssim 1/N$ 才能保持总误差较小。
• 通过在随机选择的近似酉算符上取平均，误差标度改善为 $\epsilon \lesssim 1/\sqrt{N}$，从而降低对门保真度的要求。
• 最终电路的钻石范数误差被界为 $S \mu_2 + S \cdot \mathcal{O}(\mu_4)$，其中 $\mu_2$ 为相对于 $\pi/8$ 的角度偏差方差，表明误差对误差具有二阶依赖性。
• 在态注入协议中，随机测量结果自然地对不同门角度进行平均，将系统性误差转化为非相干误差。
• 实际通道 $\mathcal{G}$ 与理想 $T$-门通道 $\mathcal{E}$ 的偏差在 $\theta - \pi/4$ 和 $\tau - \pi/4$ 下为二阶，证实了非相干标度。
• 通过使用独立随机选择的门或辅助态重复该算法，可进一步抑制单次平均无法消除的残余误差。