[论文解读] Twin-Width of Graphs on Surfaces

Daniel Král͏̌, Kristýna Pekárková+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

该论文通过强化的乘积结构定理，建立了可嵌入欧拉亏格为 $g$ 的曲面的图的孪生宽度的渐近最优上界 $18ackslashsqrt{47g} + O(1)$，该定理将此类图分解为路径与树宽近乎有界的图的强积的子图。结果给出了一个时间复杂度为二次的算法，用于计算见证该孪生宽度的收缩序列。

ABSTRACT

Twin-width is a width parameter introduced by Bonnet, Kim, Thomassé and Watrigant [FOCS'20, JACM'22], which has many structural and algorithmic applications. We prove that the twin-width of every graph embeddable in a surface of Euler genus $g$ is $18\sqrt{47g}+O(1)$, which is asymptotically best possible as it asymptotically differs from the lower bound by a constant multiplicative factor. Our proof also yields a quadratic time algorithm to find a corresponding contraction sequence. To prove the upper bound on twin-width of graphs embeddable in surfaces, we provide a stronger version of the Product Structure Theorem for graphs of Euler genus $g$ that asserts that every such graph is a subgraph of the strong product of a path and a graph with a tree-decomposition with all bags of size at most eight with a single exceptional bag of size $\max\{8,32g-27\}$.

研究动机与目标

• 建立可嵌入欧拉亏格为 $g$ 的曲面的图的孪生宽度的紧致渐近上界。
• 改进此前对极小封闭图类中孪生宽度的指数与双指数上界。
• 为曲面上的图开发更强版本的乘积结构定理。
• 提供一个时间复杂度为二次的算法，用于计算实现孪生宽度上界的收缩序列。
• 证明该上界在常数倍因子意义下渐近最优。

提出的方法

• 引入一种改进的乘积结构定理：每个欧拉亏格为 $g$ 的图都是路径与一个树分解中所有分组大小至多为 8 的图的强积的子图，仅一个分组大小为 $\max\{8, 32g - 27\}$。
• 采用分阶段的分层收缩过程，将算法分为三个阶段：初始顶点集收缩、基于路径的收缩，以及剩余顶点的最终合并。
• 通过组合论证控制收缩过程中红度，即在每一层及其相邻层中限制邻居数量。
• 追踪每个阶段的红度，证明其始终不超过 $\max\{6(s+1), 3 \cdot 2^{25}\}$，其中 $s$ 是与树分解相关的参数。
• 利用曲面嵌入图的结构特性以及随机图孪生宽度的下界，建立渐近最优性。
• 应用切尔诺夫不等式与极值图论，推导出某些可嵌入亏格为 $g$ 的曲面的图的孪生宽度下界为 $\sqrt{3g/2} - O(g^{3/8})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 可嵌入欧拉亏格为 $g$ 的曲面的图的孪生宽度的最紧致渐近上界是什么？
• RQ2 能否强化乘积结构定理，为曲面上的图提供更具结构性的分解？
• RQ3 曲面嵌入图的孪生宽度上界是否渐近最优？
• RQ4 能否设计一个时间复杂度为二次的算法，用于计算实现孪生宽度上界的收缩序列？
• RQ5 随机图（如 $G_{n,1/2}$）的孪生宽度与曲面嵌入图的孪生宽度有何关系？

主要发现

• 任何可嵌入欧拉亏格为 $g$ 的曲面的图的孪生宽度至多为 $18\sqrt{47g} + O(1) \approx 123.4\sqrt{g} + O(1)$，且在常数倍因子意义下渐近最优。
• 对某些亏格为 $g$ 的图，孪生宽度下界为 $\sqrt{3g/2} - O(g^{3/8})$，表明该上界与最优值之间的差距至多为约 100.76 倍的乘法因子。
• 存在一个时间复杂度为二次的算法，可计算出实现所述孪生宽度上界的收缩序列。
• 本文证明了一个强化的乘积结构定理：每个此类图都是路径与一个树分解中所有分组大小至多为 8 的图的强积的子图，仅一个分组大小为 $\max\{8, 32g - 27\}$。
• 收缩过程中任意顶点的红度被限制在 $\max\{6(s+1), 3 \cdot 2^{25}\}$ 以内，从而确保孪生宽度保持在所述范围内。
• 该结果填补了对极小封闭图类中孪生宽度理解的空白，尤其针对曲面嵌入图，并统一了结构与算法层面的洞察。