[论文解读] Twin-width VII: groups

Édouard Bonnet, Colin Geniet+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2022

Geometric and Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文通过凯莱图证明孪生宽度是群的不变量，并构造出具有无限孪生宽度的有限生成群，从而推翻了关于图类小集合的猜想。本文引入了统一孪生宽度作为群运算下更强且更稳定的变体，并通过群作用中的置换模式刻画了有限孪生宽度。

ABSTRACT

Twin-width is a recently introduced graph parameter with applications in algorithmics, combinatorics, and finite model theory. For graphs of bounded degree, finiteness of twin-width is preserved by quasi-isometry. Thus, through Cayley graphs, it defines a group invariant. We prove that groups which are abelian, hyperbolic, ordered, solvable, or with polynomial growth, have finite twin-width. Twin-width can be characterised by excluding patterns in the self-action by product of the group elements. Based on this characterisation, we propose a strengthening called uniform twin-width, which is stable under constructions such as group extensions, direct products, and direct limits. The existence of finitely generated groups with infinite twin-width is not immediate. We construct one using a result of Osajda on embeddings of graphs into groups. This implies the existence of a class of finite graphs with unbounded twin-width but containing $2^{O(n)} \cdot n!$ graphs on vertex set $\{1,\dots,n\}$, settling a question asked in a previous work.

研究动机与目标

• 通过群论方法构造反例，以解决‘小猜想’。
• 通过群元素自作用中的置换模式，刻画群中有限孪生宽度的性质。
• 引入并研究统一孪生宽度，作为群运算下更强、更稳定的孪生宽度变体。
• 证明孪生宽度在拟等距和粗嵌入下保持不变，从而确立其为群不变量。
• 探索孪生宽度与队列数之间的联系，并将孪生宽度结果推广至无限群及非有限生成群。

提出的方法

• 利用奥萨贾达的嵌入定理，构造一个具有无限孪生宽度的有限生成群。
• 将统一孪生宽度定义为群作用置换宽度的统一上界，推广有限孪生宽度条件。
• 证明统一孪生宽度在群扩张、直积、直极限以及有限指数子群或超群下保持不变。
• 通过群元素自作用中避免特定置换模式的条件，刻画有限孪生宽度。
• 通过矩阵叠加和邻接矩阵表示，将孪生宽度与队列数关联。
• 应用维津定理和矩阵分解技术，将队列数与边着色及布局结构关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在具有无限孪生宽度的有限生成群，从而反驳小猜想？
• RQ2 群元素自作用中的置换模式能否刻画群的孪生宽度？
• RQ3 是否存在一种更强的孪生宽度变体——统一孪生宽度，使其在群运算下保持不变？
• RQ4 孪生宽度与队列数在群中如何关联？孪生宽度的结果能否推广至队列数？
• RQ5 整数集 Z 上具有有限支撑的置换群是否可能具有有限孪生宽度但无限统一孪生宽度？

主要发现

• 确立了存在具有无限孪生宽度的有限生成群，从而推翻了‘小猜想’——即小图类必须具有有界孪生宽度。
• 群中有限孪生宽度等价于存在群上的全序，使得每个群元素通过避免某个固定置换模式的置换作用。
• 引入统一孪生宽度，并证明其在群扩张、直积、直极限以及有限指数子群或超群下保持不变。
• 阿贝尔群、双曲群、可解群以及多项式增长群均具有有限统一孪生宽度。
• 具有无限孪生宽度的群的凯莱图的有限子图类包含无界孪生宽度，且该类为小类，从而构成对小猜想的反例。
• 队列数与孪生宽度相关：具有有限统一队列数的群包括右序群（统一队列数为1），并通过矩阵刻画将结果推广至无限群。