[论文解读] Twist-2 relation and sum rule for tensor-polarized parton distribution functions of spin-1 hadrons

S. Kumano, Qin-Tao Song|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2021

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 53被引用 19

一句话总结

本文建立了自旋-1强子中张量极化部分子分布函数（PDFs）的 twist-2 关系式与求和规则，将 twist-3 函数 $f_{LT}$ 与 twist-2 函数 $f_{1LL}$ 通过积分表达式关联起来。推导表明，$f_{LT}$ 的 twist-2 成分由 $f_{1LL}$ 的积分确定，并证明了 $f_{2LT} = \frac{2}{3}f_{LT} - f_{1LL}$ 在 $x$ 上的积分为零，类似于自旋-1/2核子的 Wandzura-Wilczek 关系与 Burkhardt-Cottingham 求和规则。这些关系约束了高 twist 效应，并有助于未来在氘核等自旋-1强子实验中分离 twist-2 与高 twist 贡献。

ABSTRACT

Sum rules for structure functions and their twist-2 relations have important roles in constraining their magnitudes and $x$ dependencies and in studying higher-twist effects. The Wandzura-Wilczek (WW) relation and the Burkhardt-Cottingham (BC) sum rule are such examples for the polarized structure functions $g_1$ and $g_2$. Recently, new twist-3 and twist-4 parton distribution functions were proposed for spin-1 hadrons, so that it became possible to investigate spin-1 structure functions including higher-twist ones. We show in this work that an analogous twist-2 relation and a sum rule exist for the tensor-polarized parton distribution functions $f_{1LL}$ and $f_{LT}$, where $f_{1LL}$ is a twist-2 function and $f_{LT}$ is a twist-3 one. Namely, the twist-2 part of $f_{LT}$ is expressed by an integral of $f_{1LL}$ (or $b_1$) and the integral of the function $f_{2LT} = (2/3) f_{LT} -f_{1LL}$ over $x$ vanishes. If the parton-model sum rule for $f_{1LL}$ ($b_1$) is applied by assuming vanishing tensor-polarized antiquark distributions, another sum rule also exists for $f_{LT}$ itself. These relations should be valuable for studying tensor-polarized distribution functions of spin-1 hadrons and for separating twist-2 components from higher-twist terms, as the WW relation and BC sum rule have been used for investigating $x$ dependence and higher-twist effects in $g_2$. In deriving these relations, we indicate that four twist-3 multiparton distribution functions $F_{LT}$, $G_{LT}$, $H_{LL}^\perp$, and $H_{TT}$ exist for tensor-polarized spin-1 hadrons. These multiparton distribution functions are also interesting to probe multiparton correlations in spin-1 hadrons.

研究动机与目标

• 推导自旋-1强子中张量极化部分子分布函数 $f_{1LL}$ 与 $f_{LT}$ 的 twist-2 关系式与求和规则，类比于自旋-1/2核子的 Wandzura-Wilczek 关系与 Burkhardt-Cottingham 求和规则。
• 识别并分析自旋-1强子中张量极化情形下的四个新 twist-3 多部分子分布函数（MPDFs）：$F_{LT}$、$G_{LT}$、$H^\perp_{LL}$ 与 $H_{TT}$。
• 将 $f_{LT}$ 的高 twist 成分用这些 twist-3 MPDFs 表达，实现 $f_{LT}$ 到 twist-2 与 twist-3 部分的完整分解。
• 为未来在 JLab、费米实验室、NICA 与 EIC 等设施测量自旋-1强子中张量极化PDFs的实验计划提供理论约束。

提出的方法

• 利用算符乘积展开（OPE）形式化方法推导 $f_{LT}$ 的 twist-2 关系，将 $f_{LT}$ 的 twist-2 部分表示为 $f_{1LL}$ 的积分：$f_{LT}^{(2)}(x) = \frac{3}{2} \int_x^1 \frac{dy}{y} f_{1LL}(y)$。
• 引入函数 $f_{2LT} = \frac{2}{3}f_{LT} - f_{1LL}$，证明其在 $x \in [0,1]$ 上的积分为零：$\int_0^1 dx \, f_{2LT}(x) = 0$，类比于 BC 求和规则。
• 在张量极化反夸克分布为零的假设下，应用部分子模型求和规则 $\int_0^1 dx \, f_{1LL}^{+}(x) = 0$，推导出第二个求和规则：$\int_0^1 dx \, f_{LT}^{+}(x) = 0$。
• 通过涉及胶子场强张量的非局部算符矩阵元，识别并表征四个 twist-3 多部分子分布函数（$F_{LT}$、$G_{LT}$、$H^\perp_{LL}$、$H_{TT}$）。
• 利用非局部矢量算符形式化与轻锥量化解析，将矩阵元与共线 PDF 及 MPDF 关联，从而推导出 twist-2 关系与求和规则。
• 在树图层次完成推导，未包含微扰 QCD 修正，并讨论了未来研究系数函数与高阶修正的潜力。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自旋-1强子中，是否存在类似于 Wandzura-Wilczek 关系的张量极化PDF的 twist-2 关系？
• RQ2 能否为张量极化结构函数 $f_{2LT}$ 推导出类似于 Burkhardt-Cottingham 求和规则的关系？
• RQ3 twist-3 多部分子分布函数在 $f_{LT}$ 分解中的作用是什么？它们如何贡献于高 twist 成分？
• RQ4 所推导的关系如何约束 $f_{LT}$ 的 $x$-依赖性与函数形式，尤其是在未来实验的背景下？
• RQ5 求和规则 $\int_0^1 dx \, f_{LT}^{+}(x) = 0$ 在何种条件下成立？其对张量极化反夸克分布意味着什么？

主要发现

• 推导出 twist-2 关系式：$f_{LT}(x) = \frac{3}{2} \int_x^1 \frac{dy}{y} f_{1LL}(y) + \int_x^1 \frac{dy}{y} f^{(HT)}_{LT}(y)$，表明 $f_{LT}$ 的 twist-2 成分完全由 $f_{1LL}$ 的积分决定。
• 函数 $f_{2LT}(x) = \frac{2}{3}f_{LT}(x) - f_{1LL}(x)$ 满足求和规则 $\int_0^1 dx \, f_{2LT}(x) = 0$，类比于 $g_2$ 的 Burkhardt-Cottingham 求和规则。
• 在张量极化反夸克分布为零的假设下，求和规则 $\int_0^1 dx \, f_{LT}^{+}(x) = 0$ 成立，其中 $f_{LT}^{+}(x) = f_{LT}(x) + \bar{f}_{LT}(x)$。
• 识别出四个新的 twist-3 多部分子分布函数——$F_{LT}$、$G_{LT}$、$H^\perp_{LL}$、$H_{TT}$——作为 $f_{LT}$ 分解中的关键组成部分，为自旋-1强子中多部分子关联提供了洞见。
• 所推导的关系预计将在未来 JLab、费米实验室、NICA 与 EIC 的实验分析中，对约束 $f_{LT}$ 的 $x$-依赖性及分离 twist-2 与高 twist 贡献方面起到关键作用。
• 本文指出，这些关系在树图层次下推导，而微扰 QCD 修正的引入仍是未来研究的开放问题。