[论文解读] Twisted Brauer monoids

Igor Dolinka, James East|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

semigroups and automata theory参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文引入并分析了扭曲 Brauer 半群 $\mathcal{B}_n^\tau$，即经典 Brauer 半群 $\mathcal{B}_n$ 的扭曲版本，重点关注其 Green 关系、理想结构及生成集。研究结果表明，主理想是幂等元生成的，当且仅当其由缺陷为 $n-2$ 的元素生成，并给出了每个主理想的秩与幂等元秩的精确公式，表明当理想为幂等元生成时，两者相等。一个关键结果确认了 Brauer 半群 $\mathcal{B}_n \setminus \mathcal{S}_n$ 的奇异部分在 $n \geq 3$ 时是幂等元生成的，从而推广了 Maltcev 与 Mazorchuk 的结果。

ABSTRACT

We investigate the structure of the twisted Brauer monoid $\mathcal B_n^τ$, comparing and contrasting it to the structure of the (untwisted) Brauer monoid $\mathcal B_n$. We characterise Green's relations and pre-orders on $\mathcal B_n^τ$, describe the lattice of ideals, and give necessary and sufficient conditions for an ideal to be idempotent-generated. We obtain formulae for the rank (smallest size of a generating set) and (where applicable) the idempotent rank (smallest size of an idempotent generating set) of each principal ideal; in particular, when an ideal is idempotent-generated, its rank and idempotent rank are equal. As an application of our results, we also describe the idempotent-generated subsemigroup of $\mathcal B_n^τ$ (which is not an ideal) as well as the singular ideal of $\mathcal B_n^τ$ (which is neither principal nor idempotent-generated), and we deduce a result of Maltcev and Mazorchuk that the singular part of the Brauer monoid $\mathcal B_n$ is idempotent-generated.

研究动机与目标

• 研究扭曲 Brauer 半群 $\mathcal{B}_n^\tau$ 的代数结构，即经典 Brauer 半群 $\mathcal{B}_n$ 的扭曲变体。
• 刻画 $\mathcal{B}_n^\tau$ 上的 Green 关系与预序，并识别其正则元素。
• 分类 $\mathcal{B}_n^\tau$ 的理想格，并确定理想为幂等元生成的充要条件。
• 计算 $\mathcal{B}_n^\tau$ 中每个主理想的秩与幂等元秩，并分析幂等元生成的子半群与奇异理想。
• 扩展并确认 Maltcev 与 Mazorchuk 关于 Brauer 半群奇异部分幂等元生成性的结果。

提出的方法

• 本文使用 $\mathcal{B}_n^\tau$ 中元素的图示表示法，将其视为 $[n] \cup [n]'$ 上的集合划分，划分为二元块，其中扭曲参数 $\tau$ 编码一个浮动分量。
• 通过元素的缺陷与秩刻画 Green 关系与预序，重点关注缺陷 $d = n - r$，其中 $r$ 为划分的秩。
• 通过缺陷与秩对理想格进行分类，主理想 $I_{d;r}$ 对应于缺陷为 $d$、秩为 $r$ 的元素。
• 利用幂等元的结构与扭曲乘法 $\alpha \star \beta = (\tau(\alpha,\beta), \alpha\beta)$ 分析生成集，其中 $\tau$ 跟踪浮动分量。
• 通过最小生成集的组合计数计算主理想的秩与幂等元秩，关键界限源自 $D_{n;1}$ 与 $I_{n-2;0}$ 的生成集。
• 证明幂等元生成的子半群为 $\{1\} \cup I_{n-2;0}$，并分析奇异理想为非主理想且非幂等元生成的理想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扭曲 Brauer 半群 $\mathcal{B}_n^\tau$ 上，Green 关系与预序是什么？哪些元素是正则的？
• RQ2 如何结构化 $\mathcal{B}_n^\tau$ 的理想格？主理想有何特征？
• RQ3 在什么条件下 $\mathcal{B}_n^\tau$ 中的理想是幂等元生成的？此类理想的秩与幂等元秩是什么？
• RQ4 $\mathcal{B}_n^\tau$ 的幂等元生成子半群的结构如何？其与奇异理想有何关系？
• RQ5 经典 Brauer 半群 $\mathcal{B}_n \setminus \mathcal{S}_n$ 的奇异部分是否为幂等元生成的？能否通过扭曲半群结构加以确认？

主要发现

• 在 $\mathcal{B}_n^\tau$ 中，主理想 $I_{n-2;0}$ 的秩为 ${n \choose 2} + n!$，其幂等元秩也等于该值，因为该理想是幂等元生成的。
• 在 $\mathcal{B}_n^\tau$ 中，理想 $I_{d;r}$ 是幂等元生成的，当且仅当 $d = n - 2$，即对应于缺陷为 $n-2$ 的元素的理想。
• $\mathcal{B}_n^\tau$ 的幂等元生成子半群为 $\{1\} \cup I_{n-2;0}$，且当 $n \geq 3$ 时，其秩与幂等元秩均为 ${n \choose 2} + 1$。
• 当 $n \geq 3$ 时，Brauer 半群的奇异部分 $\mathcal{B}_n \setminus \mathcal{S}_n$ 是幂等元生成的，该结论通过扭曲半群结构及 $I_{n-2;0}$ 中元素可表示为 $E^\tau(\mathcal{B}_n^\tau)$ 中幂等元之积得以证明。
• $\mathcal{B}_n^\tau$ 的奇异理想既非主理想，也非幂等元生成的，且其严格大于幂等元生成的子半群。
• 当 $n \geq 3$ 时，理想 $I_{n-2;0}$ 由 ${n \choose 2}$ 个来自 $D_{n-2;0}$ 的元素与 $n!$ 个来自 $D_{n;1}$ 的元素生成，且任何生成集的大小至少为 ${n \choose 2} + n!$。