[论文解读] Twisted cohomology for hyperbolic three manifolds

Pere Menal-Ferrer, Joan Porti|Osaka City University (Osaka City University)|Jan 13, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 17

一句话总结

本文建立了当系数为 SL(2,C) 的有限维复表示时，对完备、非初等、拓扑有限的双曲 3-流形的扭曲上同调群的消去定理。利用 Matsushima-Murakami 方法和 Raghunathan 的消去定理，证明了对于偶数维表示 $\rho_{2k}$，上同调群 $H^*(M; E_{\rho_{2k}})$ 完全消失，从而推出在 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 中相关表示的强局部与无穷小刚性结果。该结果将经典刚性定理推广至高维表示。

ABSTRACT

For a complete hyperbolic three manifold M, we consider the representations of its fundamental group obtained by composing a lift of the holonomy with complex finite dimensional representations of SL(2,C). We prove a vanishing result for the cohomology of M with coefficients twisted by these representations, using techniques of Matsushima-Murakami. We give some applications to local rigidity.

研究动机与目标

• 建立完备、有限体积、双曲 3-流形上，以 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 的有限维复表示为系数的扭曲上同调群的消去结果。
• 通过上同调方法将经典刚性定理（如 Weil 与 Garland 的定理）推广至高维表示 $\rho_n$。
• 分析双曲 3-流形的边界与端面的上同调，以推导全局消去与刚性性质。
• 证明在拓扑有限且非初等的条件下，$\rho_n$ 的特征簇在 $\chi_{\rho_n}$ 处光滑，且其切空间同构于 $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$。

提出的方法

• 利用自旋结构，将基本群到 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 的单值表示 $\pi_1(M) \to \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 提升为 $\widetilde{\mathrm{Hol}}: \pi_1(M) \to \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$。
• 将该提升与 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 的不可约有限维复表示 $V_n$ 复合，得到表示 $\rho_n: \pi_1(M) \to \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$。
• 构造相应的平坦向量丛 $E_{\rho_n}$，并利用 Matsushima-Murakami 消去定理研究其上同调 $H^*(M; E_{\rho_n})$。
• 利用 Raghunathan 的消去定理，证明包含映射 $\partial\overline{M} \hookrightarrow \overline{M}$ 诱导出 $H^1(M; E_{\rho_n}) \hookrightarrow H^1(\partial\overline{M}; E_{\rho_n})$，且像的维数为一半。
• 分析边界分量（环面与高亏格曲面）的上同调，证明当 $k \geq 1$ 时，$H^*(\partial\overline{M}; E_{\rho_{2k}}) = 0$，从而推出全局消去。
• 将李代数 $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ 分解为不可约分量，以计算 $\dim H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$，并证明无穷小刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有单个尖点的完备、有限体积双曲 3-流形 $M$ 且 $k \geq 1$，扭曲上同调 $H^*(M; E_{\rho_{2k}})$ 是否消失？
• RQ2 对于具有不同亏格的边界分量的拓扑有限、非初等双曲 3-流形，第一上同调群 $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$ 的维数是多少？
• RQ3 特征 $\chi_{\rho_n}$ 是否为特征簇 $X(M, \mathrm{SL}(n,\mathbb{C}))$ 中的光滑点，且其切空间同构于 $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$？
• RQ4 在 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 中，$\rho_n$ 的所有非平凡无穷小形变在限制到边界时是否仍保持非平凡，且是否不具有 $L^2$ 代表？
• RQ5 当系数为 $\rho_n$ 时，边界 $\partial\overline{M}$ 的上同调与流形 $M$ 的上同调之间有何关系？

主要发现

• 对于完备、非初等、拓扑有限的双曲 3-流形 $M$，包含映射 $\partial\overline{M} \hookrightarrow \overline{M}$ 诱导出同态 $H^1(M; E_{\rho_n}) \hookrightarrow H^1(\partial\overline{M}; E_{\rho_n})$，且满足 $\dim H^1(M; E_{\rho_n}) = \frac{1}{2} \dim H^1(\partial\overline{M}; E_{\rho_n})$。
• 当 $M$ 为有限体积且具有单个尖点时，对所有 $k \geq 1$，有 $H^*(M; E_{\rho_{2k}}) = 0$，该结果适用于 $S^3$ 中的双曲纽结外部。
• 伴随丛上系数的第一上同调群的维数为 $\dim H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n}) = k(n-1) + \sum_{i=1}^l (g_i - 1)(n^2 - 1)$，其中 $k$ 为环面边界分量的数量，$g_i \geq 2$ 为高亏格分量的亏格。
• 当 $M$ 为闭流形时，$H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n}) = 0$，这将 Weil 与 Garland 的刚性定理推广至更高的 $n$。
• 所有 $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$ 中的非平凡元素在 $H^1(\partial\overline{M}; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$ 中也非平凡，且不具有 $\ell^2$ 代表。
• 特征 $\chi_{\rho_n}$ 是特征簇 $X(M, \mathrm{SL}(n,\mathbb{C}))$ 中的光滑点，其切空间为 $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$，该结果推广了 Kapovich 对 $n=2$ 的结果。