[论文解读] Twisted cohomology of the Hilbert schemes of points on surfaces

Marc Nieper-Wißkirchen|ArXiv.org|Aug 10, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文为复曲面上点的希尔伯特概形在局部常数系统下的扭曲上同调建立了同构，推广了格罗伊诺夫斯基与中岛的 Fock 空间描述以及莱恩的 Virasoro 代数作用至扭曲情形。关键结果是在曲面具有数值平凡的 canonical 除子时，对上同调环的 cup 乘积结构给出了显式描述，从而通过一种新的 Kummer 代数构造，为广义 Kummer 变体和某些卡拉比-丘流形提供了上同调环的模型。

ABSTRACT

We calculate the cohomology spaces of the Hilbert schemes of points on surfaces with values in locally constant systems. For that purpose, we generalise I. Grojnoswki's and H. Nakajima's description of the ordinary cohomology in terms of a Fock space representation to the twisted case. We further generalise M. Lehn's work on the action of the Virasoro algebra to the twisted case. Building on work by M. Lehn and Ch. Sorger, we then give an explicit description of the cup-product in the twisted case whenever the surface has a numerically trivial canonical divisor. We formulate our results in a way that they apply to the projective and non-projective case in equal measure. As an application of our methods, we give explicit models for the cohomology rings of the generalised Kummer varieties and of a series of certain even dimensional Calabi--Yau manifolds.

研究动机与目标

• 通过曲面上的局部常数系统，将希尔伯特概形上同调的 Fock 空间与 Virasoro 代数描述推广至扭曲系数情形。
• 将莱恩关于 Virasoro 代数作用的结果推广至扭曲的非射影情形。
• 在曲面具有数值平凡 canonical 除子时，对希尔伯特概形上同调中的 cup 乘积结构给出显式描述。
• 利用扭曲上同调框架，通过代数构造，为广义 Kummer 变体和一类偶数维卡拉比-丘流形的上同调环构造显式模型。

提出的方法

• 定义一个扭曲的海森堡李代数 $\mathfrak{h}_{X,L}$，作用于希尔伯特概形的总扭曲上同调，推广中岛的构造。
• 引入扭曲的 Virasoro 代数 $\mathfrak{v}_{X,L}$，并定义其在总上同调上的作用，将莱恩的结果推广至非射影情形。
• 利用有限子群诱导的 $G$-覆叠的 Leray 谱序列，计算覆叠的上同调。
• 从分次弗罗贝尼乌斯代数 $H$ 构造 $G$-加权希尔伯特代数 $H^{[n]}$，推广 [LS03] 中的构造。
• 通过霍普夫余元定义第 $n$ 个 Kummer 代数 $H^{[[n]]}$ 为 $H^{[n]} \otimes_H \mathbf{C}$，并证明其可作为广义 Kummer 变体上同调的模型。
• 通过阿贝尔曲面上乘 $n$ 映射的交换图，建立广义 Kummer 变体上同调环与 $H^{[[n]]}$ 之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当曲面的希尔伯特概形上同调被局部常数系统扭曲时，如何对其进行描述？
• RQ2 在扭曲上同调设定下，Virasoro 代数作用的结构是怎样的？它如何推广莱恩的未扭曲结果？
• RQ3 在何种条件下，可以显式描述扭曲上同调上的 cup 乘积结构？
• RQ4 如何利用扭曲上同调与代数构造，为广义 Kummer 变体的上同调环构造显式模型？
• RQ5 希尔伯特概形的 $G$-覆叠在计算扭曲上同调并将其与 Kummer 代数关联中起什么作用？

主要发现

• 存在自然的向量空间同构：$\bigoplus_{n\geq 0}H^*({X}^{[n]},{L}^{[n]}[2n])$ 与对称代数 $S^*(\bigoplus_{\nu\geq 1}H^*(X,L^{\nu}[2]))$ 之间，该同构保持分次与加权结构。
• 扭曲上同调携带扭曲海森堡代数 $\mathfrak{h}_{X,L}$ 的不可约最低权表示，推广了中岛的结果。
• 扭曲 Virasoro 代数 $\mathfrak{v}_{X,L}$ 作用于总扭曲上同调，其与边界算子的换位子关系与未扭曲情形相同。
• 当 $X$ 具有数值平凡的 canonical 除子时，存在自然的 $G$-加权分次代数同构：$\bigoplus_{L\in G}H^*({X}^{[n]},{L}^{[n]}[2n]) \cong \left(\bigoplus_{L\in G}H^*(X,L[2])\right)^{[n]}$，推广了 [LS03]。
• 广义 Kummer 变体 ${X}^{[[n]]}$ 的上同调环同构于第 $n$ 个 Kummer 代数 $H^{[[n]]}$，其构造为 $H^{[n]} \otimes_H \mathbf{C}$，其中 $H = H^*(X,\mathbf{C}[2])$。
• 该构造通过 Kummer 代数构造，为广义 Kummer 变体和一系列偶数维卡拉比-丘流形的上同调环提供了显式模型。