[论文解读] Twisted conjugacy classes, coadjoint orbits of loop groups and D-branes in the WZW-model

S. Mohrdieck, Robert Wendt|ArXiv.org|Mar 10, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文建立了紧致、单连通李群中积分扭结与非扭结共轭类与相应扭结与非扭结仿射李代数的不可约高权表示之间的几何对应关系。通过将共轭类上的积分性条件转化为环群余伴从轨道的上同调条件，作者利用几何量子化证明了此类共轭类自然参数化这些表示，将经典 Borel-Weil-Bott 对应关系推广至扭结情形。

ABSTRACT

We show that untwisted respectively twisted conjugacy classes of a compact and simply connected Lie group which satisfy a certain integrality condition correspond naturally to irreducible highest weight representations of the corresponding affine Lie algebra. Along the way, review the classification of twisted conjugacy classes of a simply connected compact Lie group $G$ and give a description of their stabilizers in terms of the Dynkin diagram of the corresponding twisted affine Lie algebra.

研究动机与目标

• 将仿射李代数的积分共轭类与高权表示之间的对应关系推广至扭结共轭类的情形。
• 利用扭结环群的余伴从轨道与轨道方法，提供该对应关系的几何解释。
• 通过凸多面体与扭结仿射 Dynkin 图对扭结共轭类进行分类。
• 通过扭结仿射 Dynkin 图的子图描述扭结共轭类的稳定化子。
• 建立共轭类上精确的积分性条件，确保通过相对上同调实现量子化，并导出酉表示。

提出的方法

• 通过涉及 G 上的典范 3-形式 η 与满足 dω = ι*η 的共轭类上的 2-形式 ω 的 3-上循环的相对上同调类定义积分性条件。
• 作者利用传导将该相对 3-上循环从 G 提升至环群 L(G)，并将其与扭结环群 LGτ 的余伴从轨道联系起来。
• 通过将扭结共轭类识别为扭结仿射 Weyl 群的基本域（其为欧氏空间中的凸多面体）实现扭结共轭类的分类。
• 证明扭结共轭类的稳定化子对应于其 Dynkin 图为扭结仿射 Dynkin 图子图的子群。
• 利用长正合序列计算共轭类上纤维空间的同伦群，证明纤维的单连通性，从而在余伴从轨道中实现闭 2-循环的填充。
• 通过几何量子化建立与酉表示的对应关系：LGτ 的积分余伴从轨道产生仿射李代数的不可约高权表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致、单连通李群中，扭结共轭类如何实现几何分类？它们与扭结仿射李代数的结构有何关联？
• RQ2 何种精确的积分性条件可确保共轭类通过几何量子化实现量子化？
• RQ3 扭结共轭类的稳定化子如何与相应扭结仿射李代数的根系相关联？
• RQ4 能否通过环群的余伴从轨道，将积分共轭类与高权表示之间的对应关系从非扭结情形推广至扭结情形？
• RQ5 3-上循环 (η, ω) 的相对上同调类在决定哪些共轭类产生酉表示方面起何种作用？

主要发现

• 紧致、单连通李群 G 中的积分扭结共轭类与相应扭结仿射李代数的不可约高权表示之间存在双射对应。
• 扭结共轭类的集合由欧氏空间中的一个凸多面体参数化，该多面体是扭结仿射 Weyl 群的基本域。
• 扭结共轭类的稳定化子是 G 的一个连通子群，其 Dynkin 图是与自同构 τ 相关的扭结仿射 Dynkin 图的子图。
• 每个稳定化子的基本群为平凡，且从环群到共轭类的求值映射的纤维是单连通的，从而可在余伴从轨道中构造闭 2-循环。
• 共轭类上的积分性条件——要求相对 3-上循环 a(η, ω) 在 H³(G, C) 中定义一个整类——等价于级别 a 为整数，且确保环群的相应余伴从轨道可赋予预量子线丛。
• 扭结环群 LGτ 的余伴从轨道的几何量子化产生仿射李代数的不可约高权表示，推广了非扭结情形下的 Borel-Weil-Bott 对应关系。