[论文解读] Twisted conjugacy classes in Symplectic groups, Mapping class groups and Braid groups(including an Appendix written with Francois Dahmani)

Alexander Fel’shtyn, Daciberg Lima Gonçalves|ArXiv.org|Aug 20, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用 6

一句话总结

该论文证明了辛群 $Sp(2n,\mathbb{Z})$、紧致曲面的映射类群以及圆盘和球面上的全辫群均具有 $R_\infty$ 性质。通过使用代数与几何群论技术——特别是对双曲空间的作用及扭曲共轭类分析——证明了对于任意自同构 $\phi$，其 $\phi$-扭曲共轭类的数量为无穷，从而确认这些群满足 $R_\infty$ 性质。

ABSTRACT

We prove that the symplectic group $Sp(2n,\mathbb Z)$ and the mapping class group $Mod_{S}$ of a compact surface $S$ satisfy the $R_{\infty}$ property. We also show that $B_n(S)$, the full braid group on $n$-strings of a surface $S$, satisfies the $R_{\infty}$ property in the cases where $S$ is either the compact disk $D$, or the sphere $S^2$. This means that for any automorphism $ϕ$ of $G$, where $G$ is one of the above groups, the number of twisted $ϕ$-conjugacy classes is infinite.

研究动机与目标

• 确定辛群 $Sp(2n,\mathbb{Z})$、映射类群 $Mod_S$ 以及辫群 $B_n(S)$ 是否满足 $R_\infty$ 性质。
• 扩展可研究扭曲Burnside-Frobenius猜想的群类，通过验证所有自同构 $\phi$ 满足 $R(\phi) = \infty$。
• 应用几何群论方法，特别是双曲作用与拟等距不变性，证明非双曲环境下 $R_\infty$ 性质的成立。
• 解决圆盘与球面上辫群的 $R_\infty$ 性质问题，此前该问题在此背景下尚未得到验证。

提出的方法

• 利用短正合列 $1 \to I_n \to Mod_S \to Sp(2n,\mathbb{Z}) \to 1$，其中 $I_n$ 为Torelli群，将 $Mod_S$ 的 $R_\infty$ 性质与 $Sp(2n,\mathbb{Z})$ 的性质联系起来。
• 应用Delzant引理及在Gromov-双曲空间上的非初等作用，证明在自同构作用下，陪集包含无穷多个共轭类。
• 利用 $Mod_S$ 在曲线图 $\mathcal{G}(S)$ 上的非初等作用，而 $\mathcal{G}(S)$ 是双曲的，从而推导出对任意自同构 $\phi$，有 $R(\phi) = \infty$。
• 利用半直积结构 $Mod_S \rtimes \mathbb{Z}_2 \simeq Mod_S^*$ 分析反向定向自同构的扭曲共轭性。
• 运用拟等距不变性及几何群论结果（如Druţu的工作）将 $R_\infty$ 性质推广至相对双曲群。
• 利用 $Mod_S$ 在 $3g + p - 4 > 0$ 时具有无穷多个普通共轭类的事实，从而推出对恒等自同构有 $R(\phi) = \infty$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有 $n \geq 1$，辛群 $Sp(2n,\mathbb{Z})$ 是否满足 $R_\infty$ 性质？
• RQ2 当 $3g + p - 4 > 0$ 时，亏格为 $g$、有 $p$ 个边界分量的紧致曲面 $S$ 的映射类群 $Mod_S$ 是否对所有自同构 $\phi$ 满足 $R(\phi) = \infty$？
• RQ3 在圆盘与球面上的全辫群 $B_n(D)$ 与 $B_n(S^2)$ 是否满足 $R_\infty$ 性质？
• RQ4 能否应用几何群论方法，特别是双曲作用与扭曲共轭，来证明非双曲群的 $R_\infty$ 性质？
• RQ5 Torelli群 $I_n$ 在从 $Sp(2n,\mathbb{Z})$ 向 $Mod_S$ 提升 $R_\infty$ 性质的过程中起什么作用？

主要发现

• 对所有 $n \geq 1$，辛群 $Sp(2n,\mathbb{Z})$ 满足 $R_\infty$ 性质，即对每个自同构 $\phi$，有 $R(\phi) = \infty$。
• 当 $3g + p - 4 > 0$ 时，紧致曲面 $S$ 的映射类群 $Mod_S$ 满足 $R_\infty$ 性质，包括具有一个边界分量的环面。
• 在圆盘与球面上的全辫群 $B_n(D)$ 与 $B_n(S^2)$ 对所有 $n \geq 1$ 满足 $R_\infty$ 性质，仅存在少数小规模例外情况。
• $Mod_S$ 满足 $R_\infty$ 性质，因其在双曲曲线图 $\mathcal{G}(S)$ 上的非初等作用，确保了任意自同构下存在无穷多个扭曲共轭类。
• 通过半直积 $Mod_S \rtimes \mathbb{Z}_2$ 扩展至全映射类群 $Mod_S^*$，$R_\infty$ 性质在反向定向自同构作用下保持不变。
• 未被一般结果覆盖的唯一情况是：至多一个边界分量的环面，以及至多四个边界分量的球面，这些情况通过直接计算及对 $Out(Mod_S)$ 的知识得以解决。