[论文解读] Twisted conjugacy classes of automorphisms of Baumslag-Solitar groups

Alexander Fel’shtyn, Daciberg Lima Gonçalves|ArXiv.org|May 31, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 12

一句话总结

该论文证明了当 $|m| \neq |n|$ 或 $|m| = |n| > 1$ 时， Baumslag-Solitar 群 $B(m,n)$ 的所有自同构的 Reidemeister 数均为无穷大，且在 $mn = -1$ 时也成立，从而验证了 Fel’shtyn 和 Hill 对该类群的猜想。证明依赖于对商群上诱导自同构的分析，以及自由群自同态的性质。

ABSTRACT

Let $ϕ:G o G$ be a group endomorphism where $G$ is a finitely generated group of exponential growth, and denote by $R(ϕ)$ the number of twisted $ϕ$-conjugacy classes. Fel'shtyn and Hill \cite{fel-hill} conjectured that if $ϕ$ is injective, then $R(ϕ)$ is infinite. This conjecture is true for automorphisms of non-elementary Gromov hyperbolic groups, see \cite{ll} and \cite {fel:1}. It was showed in \cite {gw:2} that the conjecture does not hold in general. Nevertheless in this paper, we show that the conjecture holds for the Baumslag-Solitar groups $B(m,n)$, where either $|m|$ or $|n|$ is greater than 1 and $|m| e |n|$. We also show that in the cases where $|m|=|n|>1$ or $mn=-1$ the conjecture is true for automorphisms. In addition, we derive few results about the coincidence Reidemeister number.

研究动机与目标

• 验证关于具有指数增长的有限生成群的单射自同态具有无穷 Reidemeister 数的猜想，特别针对 Baumslag-Solitar 群。
• 确定在哪些参数 $m,n$ 下，$B(m,n)$ 的自同构的 Reidemeister 数 $R(\phi)$ 为无穷大。
• 将分析扩展至单射自同态对的重合 Reidemeister 数。
• 阐明商群和诱导同态在证明扭曲共轭类无穷性中的作用。

提出的方法

• 分析 $B(m,n) = \langle a,b \mid a^{-1}b^m a = b^n \rangle$ 在 $m,n \neq 0$ 时的结构。
• 利用 $|m| \neq |n|$ 时 $B(m,n)$ 的单射自同态在同构于 $F \rtimes \mathbb{Z}_k$ 的商群上诱导自同构的事实。
• 应用自由群自同态的结果，特别是有限秩自由群的单射自同态诱导无穷 Reidemeister 数。
• 将问题简化为研究商群上的诱导映射，并利用某些子群在自同构下的不变性。
• 使用短正合列和商群分析，将核的性质传递至整个群。
• 应用推论 2.4 关于自由群的特征子群和自同构，以得出 $R(\phi)$ 的无穷性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $|m| \neq |n|$ 时，$B(m,n)$ 的每个自同构是否都具有无穷 Reidemeister 数？
• RQ2 当 $|m| > 1$ 时，$B(m,m)$ 的自同构的 Reidemeister 数是多少？
• RQ3 当 $|m| \neq |n|$ 时，$B(m,n)$ 的单射自同态对的重合 Reidemeister 数是否仍为无穷大？
• RQ4 能否将自同构的结果推广至 $B(m,n)$ 的单射自同态？
• RQ5 当 $|m| > 1$ 时，$B(m,m)$ 的单射自同态对的重合 Reidemeister 数是否为无穷大？

主要发现

• 当 $|m| \neq |n|$ 且 $mn \neq 0$ 时，$B(m,n)$ 的每个单射自同态均具有无穷 Reidemeister 数。
• 当 $|m| = |n| > 1$ 时，$B(m,n)$ 的每个自同构均具有无穷 Reidemeister 数。
• 当 $mn = -1$ 时，$B(m,n)$ 的每个自同构均具有无穷 Reidemeister 数。
• 当 $|m| \neq |n|$ 且 $mn \neq 0$ 时，$B(m,n)$ 的任意一对单射自同态的重合 Reidemeister 数均为无穷大。
• 关于 $B(m,m)$ 自同构的结果依赖于有限秩自由群的单射自同态诱导无穷 Reidemeister 数的假设，该假设在一般情况下尚未得到证明。
• 证明方法将问题简化为研究 $F \rtimes \mathbb{Z}_k$ 形式的商群上的诱导映射，其中 $F$ 为有限秩自由群，并利用某些子群在自同构下的不变性。