[论文解读] Twisted conjugacy in free groups and Makanin's question

Valerij G. Bardakov, L. A. Bokut+1 more|ArXiv.org|Jan 26, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文为自由群中Makanin的扭曲共轭问题提供了一种算法解法，适用于几乎内自同构的自同构——即存在非零幂次为内自同构的自同构。通过构造$φ$-扭曲共轭下的有限正规形式，并利用字典序最小化，作者证明了当$\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$对某个$m \geq 1$时，方程$\varphi(X)U = VX$在$F_n$中的可解性是可判定的。关键贡献在于为这一类自同构构造了一个可构造的判定过程。

ABSTRACT

We discuss the following question of G. Makanin from ``Kourovka notebook'': does there exist an algorithm to determine is for an arbitrary pair of words $U$ and $V$ of a free group $F_n$ and an arbitrary automorphism $ϕ\in Aut(F_n)$ the equation $ϕ(X) U = V X$ solvable in $F_n$? We give the affirmative answer in the case when an automorphism is virtually inner, i.e. some its non-zero power is an inner automorphism of $F_n$.

研究动机与目标

• 解决G. Makanin关于自由群$F_n$中任意自同构$\varphi$的扭曲共轭方程$\varphi(X)U = VX$可解性的问题。
• 将共轭问题的可解性扩展到自由群中的扭曲共轭情形，特别是针对几乎内自同构的自同构。
• 构造一个算法程序，以判断当$\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$对某个$m \geq 1$时，自由群$F_n$中扭曲共轭方程$\varphi(X)U = VX$是否存在解。
• 定义并利用$\varphi$-扭曲共轭下的规范正规形式，将判定问题简化为有限搜索。

提出的方法

• 将$\varphi$-扭曲共轭定义为关系$W \sim_{\varphi} W'$，若存在$W$使得$\varphi(W')U = VW$，从而推广经典共轭关系。
• 引入所有满足$W$与$V$在$\varphi$-扭曲共轭下的单词集合$D(V)$，并证明当自同构为几乎内自同构时，该集合是有限的。
• 通过单词初始部分和末尾部分的$\varphi$-移位操作，构造一个约化过程，以在$D(V)$中生成等价代表元。
• 定义$\varphi$-约化和循环$\varphi$-约化单词，以消除冗余表示并确保有限性。
• 在约化单词上使用字典序排序，选取唯一最小代表元，称为正规$\varphi$-扭曲共轭形式$\overline{V}$。
• 证明两个元素$U$和$V$当且仅当它们的正规形式$\overline{U}$和$\overline{V}$相等时，为$\varphi$-扭曲共轭。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个算法，可判定对任意$U, V \in F_n$和$\varphi \in \text{Aut}(F_n)$，方程$\varphi(X)U = VX$在$F_n$中是否可解？
• RQ2 当$\varphi$为几乎内自同构，即存在$m \geq 1$使得$\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$时，扭曲共轭问题是否变得可判定？
• RQ3 能否在几乎内自同构条件下，为自由群中$\varphi$-扭曲共轭类构造一个规范正规形式？
• RQ4 扭曲共轭方程的可解性是否等价于输入单词正规形式的相等性？

主要发现

• 当存在$m \geq 1$使得$\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$时，$F_n$中的扭曲共轭问题对所有此类自同构$\varphi$都是可判定的。
• 当$\varphi$为几乎内自同构时，单词$V$的所有$\varphi$-扭曲共轭的集合$D(V)$是有限的。
• 每个$V$都存在唯一的正规$\varphi$-扭曲共轭形式$\overline{V}$，该形式通过$D(V)$中代表元的字典序最小化构造而成。
• 两个元素$U$和$V$当且仅当它们的正规形式$\overline{U}$和$\overline{V}$相等时，为$\varphi$-扭曲共轭。
• 该算法程序依赖于$\varphi$-移位和约化操作，以生成$D(V)$中的所有可能代表元，从而保证终止性。
• 该解法将自由群中经典的共轭算法推广到了几乎内自同构条件下的扭曲情形。