[论文解读] Twisted equivariant K- Theory and K-Homology of Sl3(Z)

Noé Bárcenas, Mario Velásquez|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文使用一种谱序列，将 twisted equivariant K-theory 和 K-同调的计算约化为具有扭曲表示的 Bredon 上同调，从而计算了 SL₃(ℤ) 的 twisted equivariant K-theory 和 K-同调。在 Baum-Connes 猜想带系数的框架下，验证了 twisted equivariant K-theory 的一种 Poincaré 对偶形式，证明了 SL₃(ℤ) 的 K-同调群在偶数度上同构于 ℤ^⊕13，在奇数度上平凡。

ABSTRACT

Replaces Previous version. Includes comments on poincare duality for twisted equivariant in the context of proper and discrete actions and the Baum-Connes Conjecture. We use a spectral sequence proposed by C. Dwyer and previous work by Sanchez-Garcia and Soule to compute Twisted Equivariant K-theory groups of the classifying space for proper actions of Sl3(Z). After proving a Universal coefficient theorem in Bredon Cohomology with specific coefficients, we compute the twisted equivariant K-homology and state a relation to the Baum-Connes Conjecture with coefficients.

研究动机与目标

• 计算离散群的适当作用下的扭曲等变 K-theory 和 K-同调群，重点关注 SL₃(ℤ)。
• 应用一种谱序列，将扭曲等变 K-theory 的计算约化为具有扭曲表示的 Bredon 上同调。
• 在 Baum-猜想带系数的框架下，验证 SL₃(ℤ) 的扭曲等变 K-theory 中一种 Poincaré 对偶形式。
• 在特定上同调条件下，建立 SL₃(ℤ) 的扭曲等变 K-theory 和 K-同调群之间的对偶同构。

提出的方法

• 利用 [BEUV13] 中的谱序列，将扭曲等变 K-theory 与具有扭曲表示的 Bredon 上同调联系起来。
• 应用 Bredon 上同调的通用系数定理，将分类空间 ℓE SL₃(ℤ) 的同调与上同调群联系起来。
• 运用有限群的投影表示理论，计算与特定扭结 u₁ 相关的 Bredon 上同调群。
• 利用 ℓE SL₃(ℤ) 的 SL₃(ℤ)-CW-复形结构中稳定化子和关联关系的结构，计算余链复形中的态射。
• 分析表示限制映射的矩阵的初等因子和秩，以确定上同调群。
• 利用谱序列在 E₂ 页崩溃的特性（因高阶上同调消失），将计算约化为低度 Bredon 上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定的扭结下，将扭曲等变 K-theory 与具有扭曲表示的 Bredon 上同调联系起来的谱序列是否在 SL₃(ℤ) 上崩溃？
• RQ2 能否通过具有离散扭结的 Bredon 上同调计算 SL₃(ℤ) 的扭曲等变 K-同调？
• RQ3 在 Baum-Connes 猜想带系数的预测下，SL₃(ℤ) 的扭曲等变 K-theory 和 K-同调群之间是否成立对偶同构？
• RQ4 SL₃(ℤ) 的具有扭曲系数的 Bredon 上同调群是否集中在度数 0 和 1，从而支持对偶结果？
• RQ5 具有扭曲 C*-代数 𝒦ᵤ₁ 系数的 SL₃(ℤ) 的扭曲等变 K-同调群的精确结构是什么？

主要发现

• 具有扭曲表示系统 𝒫ᵤ₁ 系数的 Bredon 上同调群在正度数上为零，在度数 0 上同构于 ℤ^⊕13。
• 计算扭曲等变 K-theory 的谱序列因高阶 Bredon 上同调群消失而在 E₂ 页崩溃。
• ℓE SL₃(ℤ) 的扭曲等变 K-theory 群在度数 0 上同构于 ℤ^⊕13，在度数 1 上平凡。
• SL₃(ℤ) 的具有 𝒦ᵤ₁ 系数的扭曲等变 K-同调群在奇数度上平凡，在偶数度上同构于 ℤ^⊕13。
• 建立了 K-theory 和 K-同调群之间的对偶同构，确认了在 Baum-Connes 猜想带系数框架下的一种 Poincaré 对偶形式。
• 计算确认了对于 SL₃(ℤ) 及指定扭结，通用系数定理和对偶性条件成立。