[论文解读] Twisted equivariant K-theory for proper actions of discrete groups

Christopher Dwyer|ArXiv.org|Oct 10, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文利用投影表示与群上同调，通过 Lück 和 Oliver 的技术，将 Adem 与 Ruan 的有限群框架扩展至离散群的适当作用，构建了扭曲等变 K-理论。关键贡献是一个谱序列，其在与 $\mathbb{C}$ 张量后于 $E_2$ 页崩溃，建立了与非扭曲 Atiyah-Hirzebruch 谱序列的自然联系，并为扭化 torsion 情况提供了计算工具。

ABSTRACT

We give a construction for twisted equivariant K-theory in the case of a proper action of a discrete group using twisted bundles. Our construction uses results of Lueck and Oliver to extend a construction of Adem and Ruan. We also show the existence of a Chern character to twisted Bredon cohomology. This gives a partial answer to the question of when you can construct twisted equivariant K-theory out of finite rank twisted bundles.

研究动机与目标

• 将扭曲等变 K-理论从有限群扩展至一般离散群的适当作用。
• 利用 Lück 与 Oliver 的方法，推广 Adem 与 Ruan 对有限群的构造。
• 建立一个从扭曲 Bredon 上同调到扭曲等变 K-理论的谱序列。
• 证明该谱序列在与 $\mathbb{C}$ 张量后于 $E_2$ 页崩溃，从而与非扭曲 Atiyah-Hirzebruch 谱序列建立联系。
• 为轨道丛与群胚 $C^*$-代数背景下的 torsion 扭化提供计算框架。

提出的方法

• 使用有限群的 $\alpha$-扭曲表示来建模扭曲 K-理论，其中 $\alpha$ 是 $Z^2(G, \mathbb{C}^*)$ 中的 2-上循环。
• 将 $\alpha$-扭曲表示群 $R_\alpha(G)$ 构造为 $\alpha$-扭曲表示的 Grothendieck 群。
• 在系数函子上引入类似于 Adem 与 Ruan 构造中的扭曲乘积。
• 在与 $\mathbb{Q}$ 张量后，定义以 $\alpha$-扭曲表示群为值的扭曲 Bredon 上同调，并确立其 Mackey 函子结构。
• 应用 Lück 的一个结果，证明从扭曲 Bredon 上同调到扭曲等变 K-理论的谱序列在与 $\mathbb{C}$ 张量后于 $E_2$ 页崩溃。
• 利用等变陈特征，识别与 $\mathbb{Q}$-张量后 $E_2$ 和 $E_\infty$ 页的同构，从而确认崩溃现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将扭曲等变 K-理论从有限群扩展至一般离散群的适当作用？
• RQ2 从扭曲 Bredon 上同调到扭曲等变 K-理论的谱序列行为如何？它是否崩溃？
• RQ3 该扭曲谱序列与非扭曲 Atiyah-Hirzebruch 谱序列之间有何关系？
• RQ4 由群上同调产生的 torsion 扭化能否通过有限秩扭曲丛实现？
• RQ5 该构造如何与轨道丛与算子代数背景下的扭曲 K-理论整体框架相联系？

主要发现

• 从扭曲 Bredon 上同调到扭曲等变 K-理论的谱序列在与 $\mathbb{C}$ 张量后于 $E_2$ 页崩溃。
• 由于在此情形下等变陈特征是同构，谱序列的 $E_2$ 页与 $E_\infty$ 页在 $\mathbb{C}$-张量后同构。
• 该谱序列以自然方式成为非扭曲等变 Atiyah-Hirzebruch 谱序列的模。
• 该构造为任意满足 $[\alpha] \in H^3(X \times_G EG; \mathbb{Z})$ 且位于 $p^* \circ \delta$ 的像中的 torsion 扭化提供了有限秩 $\alpha$-扭曲丛。
• 在此框架中，陈特征为 torsion 情况下的扭曲 K-理论群提供了不同于 Tu 与 Xu 的算子代数方法的替代计算方法。
• 该结果支持了文献 [22] 中的猜想，即 torsion 扭化可能允许有限秩扭曲丛，提供了部分肯定答案。