[论文解读] Twisted Gauge Fields

Jordan François|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于群作用上循环（group action cocycles）而非标准群表示构造的扭曲丛（twisted associated bundles）的广义规范场论框架。它定义了扭曲联络与协变导数，推广了杨-米尔斯理论与嘉当几何，并表明在量子场论中，共形牵引（conformal tractors）、旋量（twistors）及异常（anomalies）可自然地融入此形式体系，揭示了已知物理理论背后更深层的几何结构。

ABSTRACT

We propose a generalisation of the notion of associated bundles to a principal bundle constructed via group action cocycles rather than via mere representations of the structure group. We devise a notion of connection generalising Ehresmann connection on principal bundles, giving rise to the appropriate covariant derivative on sections of these twisted associated bundles (and on twisted tensorial forms). We study the action of the group of vertical automorphisms on the objects introduced (active gauge transformations). We also provide the gluing properties of the local representatives (passive gauge transformations). The latter are generalised gauge fields: They satisfy the gauge principle of physics, but are of a different geometric nature than standard Yang-Mills fields. We also examine the conditions under which this new geometry coexists and mixes with the standard one. We show that (standard) conformal tractors and Penrose's twistors can be seen as simple instances of this general picture. We also indicate that the twisted geometry arises naturally in the definition and study of anomalies in quantum gauge field theory.

研究动机与目标

• 通过使用群作用上循环而非标准群表示，将丛的构造概念推广至标准群表示之外。
• 定义一类新的联络——扭曲联络（twisted connections），其推广了埃雷斯曼联络（Ehresmann connections），并在扭曲丛上诱导协变导数。
• 在单一框架内统一描述已知结构（如共形牵引与彭罗斯旋量）的几何描述。
• 探讨扭曲几何与标准规范理论之间的相互作用，特别是在同时包含标准与扭曲场的混合情形下。
• 确立该形式体系在量子规范场论中异常问题上的相关性，并探讨其在超几何与量化方面的潜在扩展。

提出的方法

• 通过结构群为 H 的主丛 P 与上循环 C: H × H → G，构造扭曲的关联向量丛，得到 G-丛 Q = P ×C(H) G。
• 将 P 上的扭曲联络定义为满足上循环等变性的水平子空间分布，推广了埃雷斯曼联络。
• 推导扭曲丛截面上的协变导数，并利用扭曲联络形式计算其曲率。
• 将主动规范变换定义为垂直自同构在扭曲丛上的作用，被动变换则通过局部粘贴规则实现。
• 构建结合标准与扭曲丛的混合几何，定义混合联络与曲率，允许两类结构共存。
• 将该形式体系应用于已知几何对象：证明共形牵引与局部旋量是扭曲规范场的特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将标准关联丛的构造方法推广至群表示之外，以包含群作用上循环？
• RQ2 在此扭曲设定下，联络与协变导数的几何结构为何？它们如何推广杨-米尔斯与嘉当联络？
• RQ3 共形牵引与彭罗斯旋量以何种方式成为此扭曲规范理论的特例？
• RQ4 扭曲与标准规范场如何在统一的几何框架中共存并相互作用？
• RQ5 此扭曲几何在量子场论异常（特别是与威斯-祖米诺项相关者）中的作用为何？

主要发现

• 共形牵引与彭罗斯旋量被证明是扭曲规范场的自然实例，提供了统一的几何解释。
• 标准关联丛 Q = P ×H G 同构于扭曲丛 P ×C(H) V，但扭曲构造揭示了上循环在几何中更根本的作用。
• 扭曲联络在扭曲张量形式上诱导协变导数，推广了物质场与规范相互作用的最小耦合。
• 可一致地构建结合标准与扭曲场的混合规范理论，其混合联络与曲率由相容结构定义。
• 该框架自然容纳了量子场论中的异常，特别是威斯-祖米诺项，其被证明是扭曲线丛的截面，需借助扭曲联络才能实现恰当的协变微分。
• BRST 形式体系可扩展至扭曲规范理论，表明路径积分与正则量化方法仍适用，尽管可能涌现出新的上同调结构。