[论文解读] Twisted indices, Bethe ideals and 3d $\mathcal{N}=2$ infrared dualities

Cyril Closset, Osama Khlaif|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用 6

一句话总结

本论文提出一种计算框架，利用格罗布纳基（Gröbner bases）和贝蒂数理想（Bethe ideals）来计算具有单位性规范群的3d $υ=2$ 超对称 gauge 理论的扭曲指数（twisted index）。该方法被应用于验证红外对偶性——推广了吉夫翁-库塔索夫对偶与阿哈罗尼对偶——通过显式匹配对偶理论的扭曲指数，确定实现对偶性所必需的味规范杨-米尔斯接触项，并计算 $l\neq0$ 情况下理论的维滕指数（Witten index）。

ABSTRACT

We study the topologically twisted index of 3d $\mathcal{N}=2$ supersymmetric gauge theories with unitary gauge groups. We implement a Gröbner basis algorithm for computing the $Σ_g imes S^1$ index explicitly and exactly in terms of the associated Bethe ideal, which is defined as the algebraic ideal associated with the Bethe equations of the corresponding 3d $A$-model. We then revisit recently discovered infrared dualities for unitary SQCD with gauge group $U(N_c)_{k, k +l N_c}$ with $l eq 0$, namely the Nii duality that generalises the Giveon-Kutasov duality, the Amariti-Rota duality that generalises the Aharony duality, and their further generalisations in the case of arbitrary numbers of fundamental and antifundamental chiral multiplets. In particular, we determine all the flavour Chern-Simons contact terms needed to make these dualities work. This allows us to check that the twisted indices of dual theories match exactly. We also initiate the study of the Witten index of unitary SQCD with $l eq 0$.

研究动机与目标

• 使用精确代数方法计算3d $υ=2$ 单位性规范群的超对称量子色动力学（SQCD）的扭曲指数。
• 通过在对偶对之间匹配扭曲指数，验证 $U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCD 的红外对偶性。
• 确定对偶性成立所必需的味规范杨-米尔斯接触项，特别是当 $l \neq 0$ 时。
• 启动对 $U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCD 在 $k \neq 0$ 且 $n_f = n_a$ 情况下维滕指数的研究。

提出的方法

• 通过在3d $A$-模型中使用手柄粘合算符，将扭曲指数计算为贝蒂数真空上的迹。
• 将贝蒂数方程视为代数理想（即贝蒂数理想），并计算格罗布纳基以实现精确求值。
• 将伴随矩阵法应用于格罗布纳基，以矩阵幂的迹形式计算指数。
• 该方法被应用于具有任意数量的fundamental与anti-fundamental 超多重态的 $U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCD。
• 从宇称异常消除推导出味规范杨-米尔斯接触项，并用于确保对偶性下的指数匹配。
• 使用实质量形变从已知对偶性流形至手征与最小手征情形，通过场表追踪电荷分配。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用代数几何方法精确计算3d $υ=2$ 单位性 SQCD 的扭曲指数？
• RQ2 当 $l \neq 0$ 时，实现红外对偶性所必需的味规范杨-米尔斯接触项是什么？
• RQ3 在一般 $l$ 情况下，$U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCD 对偶理论的扭曲指数如何匹配？
• RQ4 $U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCD 在 $k \neq 0$ 且 $n_f = n_a$ 情况下的维滕指数结构是什么？
• RQ5 实质量形变如何从阿哈罗尼对偶框架导出最小手征与最大手征对偶性？

主要发现

• 通过将格罗布纳基技术应用于贝蒂数理想，精确计算了 $U(N_c)_{k,k+lN_c}$ SQCD 的扭曲指数。
• 该方法证实，当包含正确的味规范杨-米尔斯接触项时，对偶理论的扭曲指数能够精确匹配。
• 本文确定了实现 Nii 对偶性（广义吉夫翁-库塔索夫）与 Amariti-Rota 对偶性（广义阿哈罗尼）在 $l \neq 0$ 情况下所需的全部接触项集合。
• 对于 $n_f = n_a$ 且 $k \neq 0$ 的情形，计算了维滕指数，并证明其与贝蒂数真空的数量一致。
• 通过实质量形变推导出最小手征与最大手征对偶性，对 $k_c > 0$ 与 $k_c < 0$ 情况提供了显式的场电荷分配表。
• 该方法成功将已知对偶性推广至非零 $l$ 情况，且在所有测试案例中均确认了指数匹配。