[论文解读] Twisted longitudinal index theorem for foliations and wrong way functoriality

Paulo Carrillo Rouse, Bai‐Ling Wang|arXiv (Cornell University)|May 20, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过形变量子化与康奈斯的切丛群胚，建立了一类叶状丛上的扭曲纵向指标定理，将康奈斯-斯卡兰迪斯指标定理推广至扭曲K-理论。该文在扭曲K-理论中构造了从光滑流形到叶状丛的反向函子性推送映射（wrong way functorial pushforward），证明了其函子性，并在未扭曲和流形情形下恢复了已知结果。

ABSTRACT

For a Lie groupoid G with a twisting (a PU(H)-principal bundle over G), we use the (geometric) deformation quantization techniques supplied by Connes tangent groupoids to define an analytic index morphism in twisted K-theory. In the case the twisting is trivial we recover the analytic index morphism of the groupoid. For a smooth foliated manifold with twistings on the holonomy groupoid we prove the twisted analog of Connes-Skandalis longitudinal index theorem. When the foliation is given by fibers of a fibration, our index coincides with the one recently introduced by Mathai-Melrose-Singer. We construct the pushforward map in twisted K-theory associated to any smooth (generalized) map $f:W\longrightarrow M/F$ and a twisting $σ$ on the holonomy groupoid $M/F$, next we use the longitudinal index theorem to prove the functoriality of this construction. We generalize in this way the wrong way functoriality results of Connes-Skandalis when the twisting is trivial and of Carey-Wang for manifolds.

研究动机与目标

• 将康奈斯-斯卡兰迪斯纵向指标定理推广至叶状丛上的扭曲K-理论设定。
• 通过形变量子化与切丛群胚构造，为带有扭曲的李群胚定义一个分析指标同态映射。
• 为从流形到叶状空间的光滑映射，在扭曲K-理论中建立反向函子性（推送映射）。
• 将康奈斯-斯卡兰迪斯（未扭曲情形）与卡瑞-王（扭曲流形情形）的结果推广至叶状丛设定。
• 为叶状丛的几何K-同调中的扭曲装配映射奠定基础，并与S¹-等变指标建立联系。

提出的方法

• 利用康奈斯切丛群胚构造，通过形变至法丛，为扭曲李群胚定义分析指标同态映射。
• 应用几何形变量子化技术，从李代数丛的K-理论到扭曲群胚C*-代数的K-理论，定义一个扭曲分析指标。
• 通过将光滑映射因式分解为子mersions，并利用子mersions在扭曲K-理论中的推送映射，构造扭曲K-理论中的推送映射。
• 在拓扑K-理论中运用陈-同构与博特定理，将拓扑指标与叶状丛C*-代数的K-理论联系起来。
• 通过因式分解的复合证明推送映射的函子性，并利用[7]（卡瑞-王）中推送映射的函子性。
• 依赖于叶状开邻域的C*-代数与横截面上连续在无穷远处消失的函数之间的莫里塔等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 康奈斯-斯卡兰迪斯纵向指标定理如何推广至叶状丛上扭曲K-理论的情形？
• RQ2 带有扭曲的李群胚在扭曲K-理论中的分析指标同态映射的正确表述是什么？
• RQ3 如何在从流形到叶状空间的光滑映射中定义并证明扭曲K-理论中的反向函子性（推送映射）？
• RQ4 扭曲指标构造如何恢复未扭曲情形（康奈斯-斯卡兰迪斯）与扭曲流形情形（卡瑞-王）中的已知结果？
• RQ5 切丛群胚与形变量子化在构造扭曲指标与推送映射中的作用是什么？

主要发现

• 本文为带有扭曲σ的李群胚构造了一个扭曲分析指标同态映射，推广了未扭曲情形，并在σ平凡时恢复了康奈斯-斯卡兰迪斯指标。
• 证明了扭曲纵向指标定理：在叶状丛的扭曲K-理论中，分析指标等于拓扑指标。
• 对于任意光滑映射f:W→M/F，若其在holonomy群胚上带有扭曲σ，则在扭曲K-理论中定义了推送映射，方法是通过子mersions因式分解。
• 证明了推送映射的函子性：对于可复合的光滑映射，有(f∘g)_! = f_! ∘ g_!。
• 当σ平凡且f为K-定向时，该构造恢复了康奈斯-斯卡兰迪斯的推送映射。
• 当叶状丛只有一个叶（即M/F为流形）时，该构造退化为卡瑞-王定义的扭曲K-理论中的推送映射。