[论文解读] Twisted Modules over Vertex Algebras on Algebraic Curves

Edward Frenkel, Matthew Szczesny|ArXiv.org|Dec 19, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文将顶点代数的几何方法推广至扭模，建立了对称 orbifold 共形场论中共形块的框架。通过构造商曲线上的等变层的截面，实现扭模的定义，并利用李代数作用与解析延拓提供两种等价的共形块定义，对海森堡代数和仿射 Kac-Moody 顶点代数给出了显式简化。

ABSTRACT

We extend the geometric approach to vertex algebras developed by the first author to twisted modules, allowing us to treat orbifold models in conformal field theory. Let $V$ be a vertex algebra, $H$ a finite group of automorphisms of $V$, and $C$ an algebraic curve such that $H \subset \on{Aut}(C)$. We show that a suitable collection of twisted $V$--modules gives rise to a section of a certain sheaf on the quotient $X=C/H$. We introduce the notion of conformal blocks for twisted modules, and analyze them in the case of the Heisenberg and affine Kac-Moody vertex algebras. We also give a chiral algebra interpretation of twisted modules.

研究动机与目标

• 将顶点代数的几何形式化推广至扭模，实现共形场论中 orbifold 模型的坐标无关处理。
• 通过代数与解析方法，定义并分析扭模设置下的共形块。
• 通过商曲线上的 D-模的扭化，建立扭模的 chiral 代数解释。
• 利用扭李代数简化海森堡代数与仿射 Kac-Moody 顶点代数的共形块定义。
• 将扭模几何实现为商曲线 X = C/H 上 H-等变向量丛的截面。

提出的方法

• 在具有有限群 H 作为自同构作用的光滑射影曲线 C 上构造一个 H-等变向量丛 VC。
• 定义商曲线 X = C/H，并限制在 H 作用自由的开稠密子集 X∘ 上，使得 C∘ → X∘ 为主 H-丛。
• 利用 VC 上的 H-等变结构，将其下降为 X∘ 上的向量丛 VH，形成扭顶点算子的层。
• 将沿 ν⁻¹(x) 的 V-模定义为在 x ∈ X 上方的 C 上各点处的 hₚ-扭 V-模的集合，且在群作用下满足相容性。
• 为每个此类模关联一个 Dx× 上对偶层 VH* 的截面 Yᴹˣ，从而定义共形块。
• 通过扭李代数 gσ_out(C_aff) 在模的张量积上的余不变量定义共形块，其对偶空间即为块空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将顶点代数的几何形式化推广至 orbifold 共形场论中扭模的语境？
• RQ2 扭模在代数曲线上共形块的几何与代数结构为何？
• RQ3 扭模如何与商曲线上的 chiral 代数及 D-模相关联？
• RQ4 能否利用扭李代数简化海森堡代数与仿射 Kac-Moody 顶点代数的共形块定义？
• RQ5 H-等变结构在顶点代数丛上的精确关系为何，以及其如何实现扭模向商曲线的下降？

主要发现

• 沿 ν⁻¹(x) 的扭 V-模对应于 Dx× 上对偶层 VH* 的截面，从而在扭设置中实现了顶点算子的几何实现。
• 共形块空间通过李代数余不变量与解析延拓两种方式等价定义，推广了 [FB] 的形式化至扭情形。
• 对于海森堡顶点代数，共形块通过扭海森堡代数描述，简化了余不变量空间的结构。
• 对于仿射 Kac-Moody 顶点代数 V_k(g)，共形块同构于模张量积上 H-不变泛函的空间，模去扭李代数 gσ_out(C_aff) 的作用。
• 扭模精确对应于 X∘ 上的 chiral 代数 A^C̃ 的模，其中 A^C̃ 是 A|X∘ 沿 H-挠子 C̃ 的扭化，建立了与 Beilinson-Drinfeld chiral 代数的深层联系。
• 对于 V_k(g)，两种共形块定义（李代数与解析）的等价性已得证明，将 [FB] 的定理 7.1 推广至扭情形。