[论文解读] Twisted Patterson-Sullivan measures and applications to amenability and coverings

Rémi Coulon, Rhiannon Dougall+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 10

一句话总结

该论文在强正递归条件下，建立了 Gromov-双曲空间上离散群作用下临界指数相等性与共阿美布赖蒂性之间的精确等价关系，推广了临界指数与阿美布赖蒂性理论中的经典结果。其关键创新在于引入了扭曲的 Patterson-Sullivan 测度，从而在多种几何设定下统一处理了临界指数刚性与共阿美布赖蒂性问题。

ABSTRACT

Let $Γ'

研究动机与目标

• 在 Gromov-双曲空间的背景下，确定子群 Γ′ ⊂ Γ 的临界指数等于全群 Γ 的临界指数的条件。
• 通过引入一个更弱、更一般的条件——强正递归性，将先前仅限于几何有限或凸-余紧作用的结果推广至更广泛的情形。
• 通过构造反例，证明该条件的最优性：当该条件不成立时，存在反例表明该假设无法进一步减弱。
• 开发一种新工具——扭曲的 Patterson-Sullivan 测度，用于分析非紧设定下的临界指数行为与酉表示。
• 将该框架应用于 Kazhdan 的 (T) 性质群，证明了一个具有统一临界指数间隙的量化增长刚性结果。

提出的方法

• 引入强正递归作用的概念，其定义为：在无穷远处，全局临界指数与紧集外部的增长率之间存在严格增长间隙。
• 利用 Hilbert 空间的超极限与 Gromov 边界上的算子值测度共形族，构造扭曲的 Patterson-Sullivan 测度。
• 通过 Hopf 方法与可测测地流的保守性，建立扭曲测度相对于标准 Patterson-Sullivan 测度的绝对连续性。
• 利用 Banach 格与 Bochner 积分理论处理向量值测度，并证明可测截面的 L^p 空间的正性与序完备性。
• 利用扭曲测度空间中的不变向量，通过关联酉表示中 Γ-不变向量的存在性，刻画共阿美布赖蒂性。
• 借助 Bader-Furman 的可测测地流理论，分析 Bowen-Margulis 测度的遍历性与有限性，从而为临界指数比较提供 Hopf 方法的支持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Gromov-双曲空间上，群作用满足何种几何条件时，子群的临界指数等于全群的临界指数？
• RQ2 在非凸-余紧或非几何有限的群作用中，共阿美布赖蒂性与临界指数相等性之间有何关系？
• RQ3 临界指数刚性结果能否超越经典设定（如实双曲空间或余紧作用）进行推广？
• RQ4 扭曲的 Patterson-Sullivan 测度在检测共阿美布赖蒂性与刻画临界指数相等性方面起什么作用？
• RQ5 对于以强正递归方式作用的 Kazhdan (T) 群的子群，是否存在临界指数的统一间隙？

主要发现

• 在 Γ 对 Gromov-双曲空间的作用为强正递归的条件下，子群 Γ′ ⊂ Γ 的临界指数等于 Γ 的临界指数，当且仅当 Γ′ 在 Γ 中是共阿美布赖蒂的。
• 该结果具有最优性：当强正递归条件不成立时，存在反例，表明该假设无法被削弱。
• 主定理的量化版本表明：对于以强正递归方式作用的 Kazhdan (T) 群，每个子群要么其临界指数至少低于 h_Γ 的 ε，要么是有限指数子群。
• 扭曲的 Patterson-Sullivan 测度被构造为 Gromov 边界上的算子值测度共形族，利用 Hilbert 空间的超极限与酉表示实现。
• 扭曲测度相对于标准 Patterson-Sullivan 测度是绝对连续的，且其 Γ-不变向量精确对应于 Γ′ 在 Γ 中的共阿美布赖蒂性。
• 该框架适用于广泛的一类作用，包括非凸-余紧与非几何有限的情形，推广了双曲几何与组合群论中的先前结果。