[论文解读] Twisted products and $SO(p) imes SO(q)$-invariant special Lagrangian cones

Mark Haskins, Nikolaos Kapouleas|arXiv (Cornell University)|May 9, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文通过一种新颖的扭曲积构造方法，构建了 ℂ^{p+q} 中 SO(p)×SO(q)-不变的特殊拉格朗日子锥，推广了早期 SO(2)-不变的例子。主要贡献在于证明了在 ℂ^n（n≥4）中存在无穷多种拓扑类型的特殊拉格朗日子锥与哈密顿平稳子锥，且当 n≥6 时，存在任意高维的连续族。

ABSTRACT

We construct $\sorth{p} imes \sorth{q}$-invariant special Lagrangian (SL) cones in $\C^{p+q}$. These SL cones are natural higher-dimensional analogues of the $\sorth{2}$-invariant SL cones constructed previously by MH and used in our gluing constructions of higher genus SL cones in $\C^{3}$. We study in detail the geometry of these $\sorth{p} imes \sorth{q}$-invariant SL cones, in preparation for their application to our higher dimensional special Legendrian gluing constructions. In particular the symmetries of these cones and their asymptotics near the spherical limit are analysed. All $\sorth{p} imes \sorth{q}$-invariant SL cones arise from a more general construction of independent interest which we call the special Legendrian twisted product construction. Using this twisted product construction and simple variants of it we can construct a constellation of new special Lagrangian and Hamiltonian stationary cones in $\C^{n}$. We prove the following theorems: A. there are infinitely many topological types of special Lagrangian and Hamiltonian stationary cones in $\C^{n}$ for all $n\ge 4$, B. for $n\ge 4$ special Lagrangian and Hamiltonian stationary torus cones in $\C^{n}$ can occur in continuous families of arbitrarily high dimension and C. for $n\ge 6$ there are infinitely many topological types of special Lagrangian and Hamiltonian stationary cones in $\C^{n}$ that can occur in continuous families of arbitrarily high dimension.

研究动机与目标

• 构建校准几何中几何 PDE 粘合方法的高维构造块。
• 将 ℂ^3 中的 SO(2)-不变特殊拉格朗日子锥推广至 ℂ^{p+q} 中的 SO(p)×SO(q)-不变子锥（p,q≥1）。
• 分析这些子锥在球面极限附近的对称性与渐近行为，以用于未来的粘合构造。
• 建立一种适用于特殊Legendrian与拉格朗日子锥的一般扭曲积构造，具有独立的几何兴趣。
• 证明在 ℂ^n（n≥4）中存在无穷多族特殊拉格朗日子锥与哈密顿平稳子锥，且当 n≥6 时模空间维数可任意大。

提出的方法

• 引入一种新的几何构造方法——'特殊Legendrian扭曲积'，以在 ℂ^{p+q} 中生成 SO(p)×SO(q)-不变的特殊拉格朗日子锥。
• 利用等变微分几何与对称性约化，分析子锥几何中 SO(p)×SO(q) 作用的性质。
• 通过几何分析与校准理论，研究子锥在球面极限附近的渐近行为。
• 将扭曲积构造应用于生成 ℂ^n 中新的特殊拉格朗日子锥与哈密顿平稳子锥例子。
• 利用保持或反转校准形式 Re(Ω) 的等距变换结构，对子锥的对称性进行分类。
• 利用 SO(p)×SO(q)-不变子锥是源自特殊拉格朗日条件约化后的偏微分方程组的解这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对任意 p,q≥1，系统性地构造 ℂ^{p+q} 中的 SO(p)×SO(q)-不变特殊拉格朗日子锥？
• RQ2 这些子锥在球面极限附近的渐近几何性质是什么？
• RQ3 这些子锥的对称性如何与周围Calabi-Yau空间的等距群相关联？
• RQ4 扭曲积构造能否在高维中生成新的特殊拉格朗日子锥与哈密顿平稳子锥族？
• RQ5 在 ℂ^n（n≥4）中，此类子锥的空间在拓扑与模形式结构上是怎样的？

主要发现

• 本文对所有 p,q≥1 构造了 ℂ^{p+q} 中的 SO(p)×SO(q)-不变特殊拉格朗日子锥，推广了早期 SO(2)-不变的例子。
• 扭曲积构造提供了一种新方法，用于在 ℂ^n 中生成特殊拉格朗日子锥与哈密顿平稳子锥。
• 当 n≥4 时，ℂ^n 中存在无穷多种拓扑类型的特殊拉格朗日子锥与哈密顿平稳子锥。
• 当 n≥6 时，存在无穷多种拓扑类型的此类子锥，且其构成连续族，维度可任意大。
• 当 n≥4 时，特殊拉格朗日子锥与哈密顿平稳环面子锥存在于维度任意高的连续族中。
• 子锥的等距群包含特殊拉格朗日与反特殊拉格朗日等距变换，后者反转校准形式 Re(Ω)。