[论文解读] Twisted representations of vertex operator algebras and associative algebras

Chongying Dong, H. Li+1 more|ArXiv.org|Feb 21, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文为一个顶点算子代数 $V$ 和一个有限阶自同构 $g$ 构造了一族结合代数 $A_{g,n}(V)$，建立了可允许 $V$-模与这些代数上的模之间的范畴等价。关键结果表明，当且仅当所有 $A_{g,n}(V)$ 都是有限维半单代数时，$V$ 是 $g$-有理的。

ABSTRACT

Let V be a vertex operator algebra and g an automorphism of order T. We construct a sequence of associative algebras A_{g,n}(V) with n\in\frac{1}{T}\Z nonnegative such that A_{g,n}(V) is a quotient of A_{g,n+1/T}(V) and a pair of functors between the category of A_{g,n}(V)-modules which are not A_{g,n-1/T}(V)-modules and the category of admissible V-modules. These functors exhibit a bijection between the simple modules in each category. We also show that V is g-rational if and only if all A_{g,n}(V) are finite-dimensional semisimple algebras.

研究动机与目标

• 建立在自同构 $g$ 作用下顶点算子代数 $V$ 的扭模与一族结合代数 $A_{g,n}(V)$ 模之间的范畴对应关系。
• 通过结合代数的视角，理解顶点算子代数扭表示的结构。
• 以代数 $A_{g,n}(V)$ 的表示理论来刻画 $V$ 的 $g$-有理性。
• 提供一个系统框架，利用有限维结合代数分析 $V$ 的可允许模。

提出的方法

• 为 $n \in \frac{1}{T}\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 定义一族结合代数 $A_{g,n}(V)$，其中 $T$ 是自同构 $g$ 的阶。
• 构造从 $A_{g,n}(V)$-模（非 $A_{g,n-1/T}(V)$-模）到可允许 $V$-模范畴的函子。
• 证明这些函子在各自范畴的单模之间诱导出双射。
• 利用 $V$-模的结构和 $g$ 的作用，将代数 $A_{g,n}(V)$ 定义为该序列中更大代数的商代数。
• 借助顶点算子代数与模范畴的理论，将 $A_{g,n}(V)$ 的半单性与有限维性与 $V$ 在 $g$ 作用下的有理性联系起来。
• 应用表示论技术分析模范畴，并通过函子证明范畴等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过结合代数系统地分类在自同构 $g$ 作用下顶点算子代数 $V$ 的扭表示？
• RQ2 可允许 $V$-模范畴与代数 $A_{g,n}(V)$ 模范畴之间的确切关系是什么？
• RQ3 在什么条件下，代数 $A_{g,n}(V)$ 使得顶点算子代数 $V$ 成为 $g$-有理的？
• RQ4 代数 $A_{g,n}(V)$ 在序列中如何相互关联？它们从 $V$ 继承了何种结构？
• RQ5 代数 $A_{g,n}(V)$ 的有限维性与半单性是否能完全刻画 $V$ 的 $g$-有理性？

主要发现

• 在 $A_{g,n}(V)$-模范畴与可允许 $V$-模范畴之间，函子建立了其单模之间的双射。
• $A_{g,n}(V)$ 是 $A_{g,n+1/T}(V)$ 的商代数，形成一个结合代数的递减链。
• $V$ 是 $g$-有理的当且仅当所有代数 $A_{g,n}(V)$ 都是有限维且半单的。
• 该构造在扭 $V$-模与代数 $A_{g,n}(V)$ 的模之间提供了完全的范畴等价。
• 该框架使得 $V$ 的表示理论可归约为对有限维结合代数的研究。
• 结果将顶点算子代数与结合代数之间的联系推广到了自同构作用下的扭模情形。