[论文解读] Twisted sectors for tensor product VOAs associated to permutation groups

Katrina Barron, Chongying Dong+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 1998

Advanced Algebra and Logic被引用 7

一句话总结

该论文证明了当 $ g $ 为 $ k $-循环自同构时，张量积顶点算子代数（VOA）$ V^{\times k} $ 的弱、容许及普通 $ g $-扭模块的范畴与 $ V $-模的相应范畴同构。对于任意的置换自同构 $ g $，论文证明了容许 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模的范畴是半单的，且当 $ V $ 为有理型时，其简单对象可明确确定，方法是通过弱 $ V $-模构造弱 $ g $-扭模块。

ABSTRACT

Let V be a vertex operator algebra. It is shown that the categories of weak, admissible and ordinary g-twisted modules for the tensor product VOA V ⊗k are isomorphic to the categories of weak, admissible and ordinary V-modules respectively where g is a k cycle automorphism of V ⊗k. For arbitrary permutation automorphism g of V ⊗k the category of admissible g-twisted modules for V ⊗k is semi simple and the simple objects are determined if V is rational. The key result is a construction of the weak g-twisted V ⊗k-modules from weak V-modules. 1

研究动机与目标

• 理解在置换自同构下张量积VOA的扭模块结构。
• 当 $ g $ 为 $ k $-循环时，建立 $ V^{\times k} $ 的扭模块范畴与 $ V $-模范畴之间的同构。
• 对任意置换自同构 $ g $，分类容许 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模范畴中的简单对象。
• 从弱 $ V $-模系统性地构造弱 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模。

提出的方法

• 利用 $ k $-循环自同构 $ g $ 在张量积VOA $ V^{\times k} $ 上的作用来定义 $ g $-扭模块。
• 通过提升过程，从弱 $ V $-模构造弱 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模。
• 证明对于任意置换自同构 $ g $，容许 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模的范畴是半单的。
• 当 $ V $ 为有理型时，刻画容许 $ g $-扭模块范畴中的简单对象。
• 建立当 $ g $ 为 $ k $-循环时，$ V^{\times k} $ 的 $ g $-扭模块范畴与 $ V $-模范畴之间的范畴同构。
• 应用置换群的表示理论，分析张量积设定下扭模块的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ g $ 为 $ k $-循环自同构时，$ V^{\times k} $ 的弱、容许及普通 $ g $-扭模块范畴与 $ V $ 的相应范畴有何关系？
• RQ2 当 $ g $ 为任意置换自同构时，容许 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模范畴的结构如何？
• RQ3 弱 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模能否从弱 $ V $-模系统性地构造？
• RQ4 在何种条件下，容许 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模范畴是半单的？
• RQ5 当 $ V $ 为有理型时，容许 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模范畴中的简单对象是什么？

主要发现

• 当 $ g $ 为 $ k $-循环自同构时，弱、容许及普通 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模的范畴与 $ V $-模的相应范畴同构。
• 对于任意置换自同构 $ g $，容许 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模的范畴是半单的。
• 当 $ V $ 为有理型时，容许 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模范畴中的简单对象可完全确定。
• 论文提供了从弱 $ V $-模构造弱 $ g $-扭 $ V^{\times k} $-模的方法，建立了模块范畴之间的直接联系。
• 当 $ g $ 为 $ k $-循环时，模块范畴之间的同构意味着 $ V^{\times k} $ 在此类对称性下的表示理论可归约为 $ V $ 的表示理论。
• 只要 $ g $ 是 $ V^{\times k} $ 的任意置换自同构，该半单性结果即成立。