[论文解读] Twisted stable maps to tame Artin stacks

Dan Abramovich, Martin Olsson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文构建了到狭义阿廷堆的扭曲稳定映射的模空间，推广了康采维奇的稳定映射到堆的理论。通过使用扭曲曲线和 Hom-堆，证明了扭曲稳定映射的堆在稳定映射的粗模空间上是拟紧且有限的，当目标为射影时，其粗模空间为射影的。

ABSTRACT

This paper is a continuation of our earlier development of a theory of tame Artin stacks. Our main goal here is the construction of an appropriate analogue of Kontsevich's space of stable maps in the case where the target is a tame Artin stack. When the target is a tame Deligne--Mumford stack, the theory was developed by Abramovich and Vistoli, and found a number of applications. The theory for arbitrary tame Artin stacks developed here is very similar, but it is necessary to overcome a number of technical hurdles and to generalize a few questions of foundation.

研究动机与目标

• 将康采维奇的稳定映射理论推广到狭义阿廷堆的设定中，其中目标不一定是 Deligne–Mumford 堆。
• 使用任意特征下的扭曲曲线概念，定义并研究扭曲稳定映射，这些曲线可能不满足 Deligne–Mumford 性质。
• 建立扭曲稳定映射模堆的基本性质，包括其在稳定映射的粗模空间上的拟紧性与有限性。
• 分析有限平坦线性约化群概形 $G$ 的分类堆 $\mathcal{B}G$ 的情形，证明其在 $\mathcal{M}_{g,n}$ 上的有限性与平坦性。
• 将该理论应用于通过两种不同的堆论构造，对具有全水平-2结构的椭圆曲线模空间 $X(2)$ 进行紧化。

提出的方法

• 利用狭义堆理论定义扭曲曲线，将 Deligne–Mumford 扭曲曲线推广至任意特征。
• 利用扭曲曲线堆的存在性（附录 A 中建立）以及 $\underline{\text{Hom}}$-堆的有限性性质（来自 [35, 40]，并在附录 C 中进一步推广）。
• 构造分类从 $n$-点化 genus $g$ 扭曲曲线到狭义堆 $\mathcal{M}$ 的扭曲稳定映射的堆 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M})$。
• 使用广义纯度引理（引理 4.6）证明拟紧性，该引理扩展了 [5] 中的关键技术工具。
• 通过分析映射 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M}) \to \mathcal{K}_{g,n}(M)$ 的相对几何结构，建立有限性，其中 $M$ 是 $\mathcal{M}$ 的粗模空间。
• 将理论应用于 $\mathcal{B}G$-目标情形，利用 $\underline{\text{Pic}}_{X/B}^\mathcal{G}[n]$ 上的下降与主齐性空间结构，证明 $\mathcal{M}_{g,n}(\mathcal{B}G)$ 在 $\mathcal{M}_{g,n}$ 上是有限且平坦的。

实验结果

研究问题

• RQ1 康采维奇的稳定映射模空间能否推广到狭义阿廷堆，而不仅限于 Deligne–Mumford 堆？
• RQ2 扭曲曲线在正特征下如何表现？它们在形变下是否稳定？
• RQ3 扭曲稳定映射的堆在稳定映射的粗模空间上是否拟紧且有限？
• RQ4 对于有限平坦线性约化群 $G$，$\mathcal{M}_{g,n}(\mathcal{B}G)$ 的结构是什么？它与 $\mathcal{M}_{g,n}$ 有何关系？
• RQ5 能否通过扭曲稳定映射以多种几何上有意义的方式对具有全水平-2结构的椭圆曲线模空间 $X(2)$ 进行紧化？

主要发现

• 到狭义阿廷堆 $\mathcal{M}$ 的扭曲稳定映射堆 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M})$ 是基概形 $S$ 上的局部有限表示代数堆。
• 自然态射 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M}) \to \mathcal{K}_{g,n}(M)$ 到粗模空间 $M$ 的康采维奇空间是拟紧且有限的。
• 当 $M$ 是域上的射影概形时，具有固定目标类 $\beta$ 的子堆 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M},\beta)$ 在 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M})$ 中是拟紧、开且闭的。
• 当 $\mathcal{M} = \mathcal{B}G$ 且 $G$ 为有限平坦线性约化群概形时，堆 $\mathcal{M}_{g,n}(\mathcal{B}G)$ 在 Deligne–Mumford 堆 $\mathcal{M}_{g,n}$ 上是有限且平坦的。
• 具有全水平-2结构的椭圆曲线模空间 $X(2)$ 作为 $\mathcal{K}_{0,4}(\mathcal{B}\boldsymbol{\mu}_2)$ 的一个分支出现，也作为 $\mathcal{K}_{1,1}(\mathcal{B}\boldsymbol{\mu}_2^2)$ 的一个分支出现，其紧化具有几何意义。
• $X(2)$ 的 Katz–Mazur 正则模型被实现为其中一个紧化在通用纤维中的一个分支的闭包。