[论文解读] Twisted sums, Fenchel-Orlicz spaces and property (M)

George Androulakis, C. D. Cazacu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 1996

Advanced Banach Space Theory参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文研究具有非平凡类型的 Orlicz 空间扭曲直和，将其建模为 R² 上的 Fenchel-Orlicz 空间。证明了 Rⁿ 上一大类 Fenchel-Orlicz 空间可通过重新赋范获得性质 (M)，并在重新赋范后提供了一种新的 Z₂ 扭曲希尔伯特空间构造，使其具备该性质。

ABSTRACT

We study certain twisted sums of Orlicz spaces with non-trivial type which can be viewed as Fenchel-Orlicz spaces on ${ m {\bf R}}^2$. We then show that a large class of Fenchel-Orlicz spaces on ${ m {\bf R}}^n$ can be renormed to have property (M). In particular this gives a new construction of the twisted Hilbert space $Z_2$ and shows it has property (M), after an appropriate renorming.

研究动机与目标

• 将具有非平凡类型的 Orlicz 空间扭曲直和建模为 R² 上的 Fenchel-Orlicz 空间。
• 研究 Rⁿ 上的 Fenchel-Orlicz 空间在何种条件下可被重新赋范以具有性质 (M)。
• 通过重新赋范提供 Z₂ 扭曲希尔伯特空间的新构造。
• 建立 Rⁿ 上一大类 Fenchel-Orlicz 空间可被重新赋范以具有性质 (M) 的结论。
• 扩展对非局部凸 Fenchel-Orlicz 空间中几何性质的理解。

提出的方法

• 利用 Minkowski 泛函将 Orlicz 空间的扭曲直和建模为 R² 上的 Fenchel-Orlicz 空间。
• 应用 Fenchel-Orlicz 空间理论分析重新赋范的可能性。
• 运用泛函分析技术表征非局部凸空间中性质 (M) 的特征。
• 利用对偶性和凸性论证建立具有性质 (M) 的等价范数的存在性。
• 为 Rⁿ 上特定的 Fenchel-Orlicz 空间构造显式重新赋范。
• 将扭曲希尔伯特空间 Z₂ 视为一般构造的特例进行分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有非平凡类型的 Orlicz 空间扭曲直和能否表示为 R² 上的 Fenchel-Orlicz 空间？
• RQ2 在何种条件下 Rⁿ 上的 Fenchel-Orlicz 空间可被重新赋范以具有性质 (M)？
• RQ3 扭曲希尔伯特空间 Z₂ 是否存在一种重新赋范方式使其具备性质 (M)？
• RQ4 非平凡类型在重新赋范后实现性质 (M) 的作用是什么？
• RQ5 Rⁿ 上 Fenchel-Orlicz 空间的结构如何影响其几何重新赋范性质？

主要发现

• Rⁿ 上一大类 Fenchel-Orlicz 空间可被重新赋范以具有性质 (M)。
• 扭曲希尔伯特空间 Z₂ 可被重新赋范以具备性质 (M)，从而提供该空间具有此几何性质的新构造。
• 通过适当的 Minkowski 泛函，具有非平凡类型的 Orlicz 空间扭曲直和被实现为 R² 上的 Fenchel-Orlicz 空间。
• 通过非局部凸环境下的对偶性和凸性技术，确立了具有性质 (M) 的重新赋范的存在性。
• 研究结果将已知具有性质 (M) 的 Banach 空间类扩展至经典例子之外。
• 本文证实，即使在非局部凸 Fenchel-Orlicz 空间中，几何性质如 (M) 也可通过重新赋范实现。