[论文解读] Twisted triple product p-adic L-functions and Hirzebruch-Zagier cycles

Michele Fornea|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文构建了一个p进L函数，插值在全实数域的二次扩张L/F上，对单位 cuspidal 自守表示的扭曲三重积L函数的中心值。证明了p进Gross-Zagier公式，将p进L函数与广义Hirzebruch-Zagier循环的syntomic Abel-Jacobi像联系起来，为实二次域和分裂素数情形下的p进L函数提供了几何算术意义。

ABSTRACT

Let $L/F$ be a quadratic extension of totally real number fields. For any prime $p$ unramified in $L$, we construct a $p$-adic $L$-function interpolating the central values of the twisted triple product $L$-functions attached to a $p$-nearly ordinary family of unitary cuspidal automorphic representations of $ ext{Res}_{L imes F/F}( ext{GL}_{2})$. Furthermore, when $L/\mathbb{Q}$ is a real quadratic number field and $p$ is a split prime, we prove a $p$-adic Gross-Zagier formula relating the value of the $p$-adic $L$-function outside the range of interpolation to the syntomic Abel-Jacobi image of generalized Hirzebruch-Zagier cycles.

研究动机与目标

• 为全实数域的二次扩张L/F上的单位 cuspidal 自守表示，构建一个插值扭曲三重积L函数中心值的p进L函数。
• 通过将p进L函数与广义Hirzebruch-Zagier循环的syntomic Abel-Jacobi像联系起来，为其提供几何解释。
• 提供证据表明，p进L函数与这些循环是三重积L函数及其p进变体框架中的核心对象。
• 通过p进Gross-Zagier公式，验证自守与几何构造的p进L函数之间的相容性。

提出的方法

• 利用群Res_{L×F/F}(GL₂)上自守形式的近乎平凡投影，构建一个插值扭曲三重积L函数中心L值的p进L函数。
• 应用Perrin-Riou的理论，通过单位 cuspidal 表示的近乎平凡族，将特殊值插值为一个p进梅雷姆函数。
• 使用syntomic Abel-Jacobi映射，将上同调类关联到Kuga-Sato型流形上的广义Hirzebruch-Zagier循环。
• 依赖模形式的de Rham实现与超收敛尖点形式理论，将p进模形式与Abel-Jacobi像联系起来。
• 使用微分算子与对角限制映射，将Hilbert模形式的上同调数据与三重积结构联系起来。
• 在p进设定中应用积分模型与紧化理论，定义p进Gross-Zagier公式的几何侧。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个p进L函数，以插值在全实数域的二次扩张上，单位 cuspidal 自守表示的扭曲三重积L函数的中心值？
• RQ2 p进L函数是否可通过代数循环（特别是广义Hirzebruch-Zagier循环）获得几何解释？
• RQ3 在实二次域与分裂素数的情形下，p进L函数在插值范围外的值是否对应于这些循环的syntomic Abel-Jacobi像？
• RQ4 p进L函数能否用来自超收敛尖点形式与近乎平凡投影的上同调数据表示？
• RQ5 是否存在一个p进Gross-Zagier公式，将p进L函数与三重积L函数背景下循环的Abel-Jacobi像联系起来？

主要发现

• 构建了一个p进L函数，插值Res_{L×F/F}(GL₂)上p-近乎平凡族的单位 cuspidal 自守表示的扭曲三重积L函数的中心值。
• 当L/Q为实二次域且p为分裂素数时，证明了p进L函数在非中心点处与广义Hirzebruch-Zagier循环的syntomic Abel-Jacobi像成比例。
• 该公式将p进L函数表示为Abel-Jacobi像的有理倍数，其中系数包含p进L-不变量与Euler因子。
• 显式计算了循环Δℓ,k的Abel-Jacobi像，其以与cuspform f*相关的微分形式的近乎平凡投影表示。
• 证明了当相关伽罗瓦表示为可约时，p进L函数在某些点处为零，与Gross-Zagier情形下的预期非零行为一致。
• 结果确认了p进L函数与广义Hirzebruch-Zagier循环是三重积L函数及其p进插值背景下应考虑的正确几何与自守对象。