[论文解读] Twisting of the Quantum double and the Weyl algebra

Byung-Jay Kahng|ArXiv.org|Aug 31, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于局部紧群 $G$ 的量子双代数 $D(G)$ 的 $C^*$-代数构造，将外尔代数表示为 $D(G)$ 的扭曲对偶，利用量子 $R$-矩阵对余乘法进行形变，从而诱导出新的代数结构。关键结果表明，$D(G)$ 的扭曲对偶同构于 $C^*$-代数 $C_0(G) \rtimes_\tau G$，而后者又同构于紧算子代数 $\mathcal{K}(L^2(G))$，将卢在有限维情形下的结果推广到了 $C^*$-代数量子群的框架之中。

ABSTRACT

Quantum double construction, originally due to Drinfeld and has been since generalized even to the operator algebra framework, is naturally associated with a certain (quasitriangular) $R$-matrix ${\mathcal R}$. It turns out that ${\mathcal R}$ determines a twisting of the comultiplication on the quantum double. It then suggests a twisting of the algebra structure on the dual of the quantum double. For $D(G)$, the $C^*$-algebraic quantum double of an ordinary group $G$, the "twisted $\hat{D(G)}$" turns out to be the Weyl algebra $C_0(G) imes_τG$, which is in turn isomorphic to ${\mathcal K}(L^2(G))$. This is the $C^*$-algebraic counterpart to an earlier (finite-dimensional) result by Lu. It is not so easy technically to extend this program to the general locally compact quantum group case, but we propose here some possible approaches, using the notion of the (generalized) Fourier transform.

研究动机与目标

• 将卢关于量子双代数与外尔代数的有限维结果推广到局部紧量子群的 $C^*$-代数框架之中。
• 利用量子 $R$-矩阵 $\mathcal{R}$ 对 $C^*$-代数量子双代数 $A_D = D(G)$ 的对偶代数 $\widehat{A_D}$ 进行扭曲构造。
• 建立扭曲对偶代数同构于外尔代数 $C_0(G) \rtimes_\tau G$，而后者又同构于 $\mathcal{K}(L^2(G))$。
• 提出一个通用框架，将此构造推广至一般的局部紧量子群，借助广义傅里叶变换与乘法单位性算子。

提出的方法

• 利用与量子双代数 $N_D$ 相关的量子 $R$-矩阵 $\mathcal{R} \in N_D \otimes N_D$，为余乘法 $\Delta_D$ 定义左上循环，从而实现对余乘法的扭曲。
• 将该扭曲应用于对偶代数 $\widehat{A_D}$，在 $C_c(G \times G)$ 上诱导出一个形变乘法 $\times_\mathcal{R}$，其来源于傅里叶变换与哈尔测度结构。
• 通过哈尔测度的广义傅里叶变换与对偶配对，以一种不依赖于有限维对偶性的方法定义扭曲对偶代数。
• 通过积分显式导出形变乘法：$(a \times b) \times_\mathcal{R} (a' \otimes b')(s,t) = \int a(z)b(t)a'(z^{-1}s)b'(z^{-1}t) \, dz$，该式与外尔代数的乘法结构一致。
• 利用乘法单位性算子 $\hat{W}$ 与关系式 $\mathcal{R} = Z^*_{34} \hat{W}_{14} Z_{34}$，将 $R$-矩阵与外尔代数的结构联系起来。
• 证明 $(C_c(G \times G), \times_\mathcal{R})$ 的 $C^*$-完备化同构于 $C_0(G) \rtimes_\tau G$，并进一步同构于 $\mathcal{K}(L^2(G))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $R$-矩阵在 $C^*$-代数框架下对 $C^*$-代数量子双代数的构造进行扭曲，从而在其对偶上生成新的代数结构？
• RQ2 卢在有限维情形下将 $D(G)$ 的扭曲对偶识别为外尔代数的结果，在 $C^*$-代数框架下的对应物是什么？
• RQ3 能否显式地将 $C^*$-代数量子双代数 $D(G)$ 的扭曲对偶实现为 $C_0(G) \rtimes_\tau G$？
• RQ4 广义傅里叶变换在定义对偶配对及在非有限维情形下实现扭曲构造中起到何种作用？
• RQ5 所得扭曲对偶代数是否同构于 $\mathcal{K}(L^2(G))$？能否通过算子理论构造方法建立该同构？

主要发现

• $C^*$-代数量子双代数 $D(G)$ 的扭曲对偶同构于外尔代数 $C_0(G) \rtimes_\tau G$，其中 $\tau$ 表示 $G$ 在其自身的平移作用。
• 由 $R$-矩阵诱导的 $C_c(G \times G)$ 上的形变乘法显式给出为 $\int a(z)b(t)a'(z^{-1}s)b'(z^{-1}t) \, dz$，其结构与外尔代数的乘法一致。
• $C^*$-代数 $C_0(G) \rtimes_\tau G$ 同构于紧算子代数 $\mathcal{K}(L^2(G))$，从而建立了外尔代数的 $C^*$-代数实现。
• 该构造得到一个启发式但一致的描述支持：$B = \overline{\text{span}}\{(1 \otimes \mu^{\text{op}}_b)(\Delta(L_a))\}^\|\|$，其属于 $\mathcal{B}(\mathcal{H} \otimes \mathcal{H})$，提示了扭曲对偶的一般框架。
• 该方法依赖于乘法单位性算子 $\hat{W}$ 与关系式 $\mathcal{R} = Z^*_{34} \hat{W}_{14} Z_{34}$，为 $R$-矩阵与外尔代数结构之间建立了桥梁。
• 尽管对非正则量子群的一般性证明仍为开放问题，但该构造在各类例子中保持一致，提示其在 $C^*$-代数量子群中对偶扭曲的可推广方法。