[论文解读] Twisting the Stern sequence

Roland Bacher|arXiv (Cornell University)|May 31, 2010

semigroups and automata theory参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文引入并分析了扭曲Stern序列，这是通过带符号递推关系定义的经典Stern序列的变体。通过函数恒等式、回文多项式因式分解和生成函数，建立了原始序列与扭曲序列之间的深刻联系，揭示了结构对称性，并利用矩阵行列式和函数方程证明了相关生成函数的$k$-正则性。

ABSTRACT

We describe a few features of the Stern sequence and of a closely related sequence obtained by adding a sign-twist in the recursive definition of the Stern sequence. 1 Main results In this paper, we identify a complex sequence (an)n∈N with the corresponding function a : N 7−→ C. We write thus always a(n) instead of an. The Stern sequence or Stern-Brocot sequence with first terms given by 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, . . . (cf. sequence A2487 of [9]) is the integral sequence s : N −→ N recursively defined by s(0) = 0, s(1) = 1 and s(2n) = s(n), s(2n + 1) = s(n) + s(n + 1) for n ≥ 1. It is closely related to the Farey tree and induces a one-to-one map n 7−→ s(n)/s(n+ 1) between N and non-negative rational numbers, cf. [5] or Chapter 16 of [1]. It is also an example of a 2−regular sequence, see Chapter 16 of [2]. The following result gives a different, perhaps not very well-known, description of the Stern sequence. Proposition 1.1 s(n) equals the number of distinct subsequences of the form 1, 101, 10101, . . . = {1(01)} in the binary expansion ǫl . . . ǫ1ǫ0 of n = ∑l k=0 ǫl2 k (where ǫ0, . . . , ǫl ∈ {0, 1}). Proposition 1.1 is in fact a particular case of Proposition 2.3, an easy result concerning rational series in non-commuting variables. Example The binary expansion 1011 of 11 = 23 + 21 + 20 contains the following five subsequences (highlighted by bold letters) 1011 , 1011 , 1011,1011 ,1011

研究动机与目标

• 通过在经典Stern序列的递推定义中引入符号扭曲，定义并研究一种新序列——扭曲Stern序列。
• 探索Stern序列与其扭曲变体之间的结构相似性及函数恒等式。
• 建立由扭曲序列导出的回文多项式的因式分解，揭示自相似模式。
• 通过函数方程证明扭曲序列生成函数的对数导数的$k$-正则性。
• 研究扭曲序列生成函数在复单位圆盘内的零点分布。

提出的方法

• 通过递推关系 $ t(2n) = -t(n) $, $ t(2n+1) = -t(n) - t(n+1) $ 定义扭曲Stern序列，初始值为 $ t(0) = 0 $, $ t(1) = 1 $。
• 使用生成函数和函数方程分析扭曲序列的结构，特别是通过恒等式 $ \sum t(3\cdot 2^e + n)z^n = (-1)^e \left( \sum u(n)z^{n\cdot 2^e} \right) \left( \sum s(m)z^m \right) $。
• 证明多项式 $ \psi_e = (-1)^e \sum_{n=0}^{3\cdot 2^e} t(3\cdot 2^e + n) z^n $ 可因式分解为 $ z(1+z^{2^e}) \prod_{n=0}^{e-1} (1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}}) $，揭示自相似结构。
• 分析由Stern序列与扭曲序列连续项构成的矩阵的行列式，证明当 $ n $ 为偶数时 $ \det(M(n)) = -\det(M(n/2)) $，并对混合序列建立类似恒等式。
• 通过证明其满足 $ B(z) = \frac{P'(z)}{P(z)} + kz^{k-1}B(z^k) $，其中 $ P(z) $ 为分圆型项的乘积，建立生成函数 $ A(z) $ 的对数导数的$k$-正则性。
• 使用数学归纳法与递归代换，证明涉及 $ s(n-1) + s(n+1) $ 和 $ t(n-1) + t(n+1) $ 的恒等式，揭示其与2-adic赋值 $ v_2(n) $ 的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 Stern序列与其扭曲变体之间的函数恒等式如何反映其递推结构中的潜在对称性？
• RQ2 由扭曲序列导出的回文多项式的代数结构是什么？其因式分解形式如何？
• RQ3 扭曲Stern序列的生成函数在开单位圆盘内是否具有无穷多个非零根？这与经典Stern序列有何对比？
• RQ4 扭曲序列生成函数的对数导数在何种条件下具有$k$-正则性？这对序列的算术结构意味着什么？
• RQ5 由Stern序列与扭曲序列连续项构成的矩阵的行列式在乘以2的幂次时表现出何种行为？

主要发现

• 扭曲Stern序列满足恒等式 $ t(2^e + n) = (-1)^e (s(2^e - n) - s(n)) $，其中 $ 0 \leq n \leq 2^e $，从而与经典Stern序列直接关联。
• 有限序列 $ (-1)^e t(3\cdot 2^e + n) $，其中 $ 0 \leq n \leq 3\cdot 2^e $，是回文的，且可因式分解为 $ z(1+z^{2^e}) \prod_{n=0}^{e-1} (1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}}) $，揭示出自相似结构。
• 经典Stern序列的生成函数满足 $ \sum s(n)z^n = z \prod_{n=0}^\infty (1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}}) $，该结果通过扭曲序列的多项式因式分解得到新证明。
• 扭曲Stern序列的生成函数在开单位圆盘内具有无穷多个非零根，而经典Stern序列则不然。
• 当且仅当其函数方程中的多项式 $ P(z) $ 的所有根均为单位根时，扭曲序列生成函数的对数导数为$k$-正则。
• 矩阵 $ M(n) = \begin{pmatrix} s(n) & s(n+1) \\ t(n) & t(n+1) \end{pmatrix} $ 的行列式满足 $ \det(M(2n)) = -\det(M(n)) $ 且 $ \det(M(2n-1)) = -\det(M(n-1)) $，表明其具有递归符号模式。