[论文解读] Twistings of KR for Real groupoids

El-kaïoum M. Moutuou|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过实格拉斯-杜阿迪丛（Real graded Dixmier-Douady bundles）——即带有对合的群胚上的B-场——引入了阿蒂yah的KR-理论在实群胚上的扭变形式。它构建了实格拉斯-布雷尔群 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$，并建立了与等变Čech上同调的对应关系，从而形成了一套推广的扭变KR-理论框架，可推广导向量对称性下D-膜电荷的描述。

ABSTRACT

B-fields over a groupoid with involution are defined as Real graded Dixmier-Douady bundles. We use these to introduce the Real graded Brauer group which constitutes the set of twistings for Atiyah's KR-functor in the category of locally compact groupoids with involutions. We interpret this group in terms of groupoid extensions and elements of some equivariant Cech cohomology theory. The construction of the twisted KR-functor is outlined.

研究动机与目标

• 通过引入对合与B-场，将扭变K-理论推广至实群胚。
• 定义实格拉斯-杜阿迪丛作为实群胚上B-场的几何实现。
• 构建实格拉斯-布雷尔群 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$，作为阿蒂yah的KR-函子的扭变集合。
• 将这些扭变与群胚扩张及等变Čech上同调联系起来。
• 为具有时间反演对称性的导向量对称性时空中的扭变KR-理论提供几何与代数框架。

提出的方法

• 将实群胚定义为配备严格对合 $\tau$ 且满足 $\tau^2 = \mathrm{id}$ 的群胚，推广实空间的概念。
• 引入实格拉斯-杜阿迪丛作为实群胚上B-场的几何实现。
• 将实格拉斯-布雷尔群 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$ 构造为这类丛的同构类集合。
• 建立扭变与实群胚等变Čech上同调理论元素之间的对应关系。
• 利用非交换扩张与群胚态射，对紧算子的格拉斯代数上的实结构进行分类。
• 为 $\mathcal{A} \in \widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$ 定义扭变KR-理论 $KR^\ast_\mathcal{A}(\mathcal{G})$，并将其与等变弗雷德霍姆算子及映射到 $\widehat{\mathrm{PU}}(\hat{\mathcal{H}})$ 的广义态射联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在B-场与对合的情况下，如何将扭变KR-理论扩展至实群胚？
• RQ2 对于具有格拉斯代数与对合的实群胚，布雷尔群的适当推广是什么？
• RQ3 实群胚扩张与等变上同调如何对KR-理论的扭变进行分类？
• RQ4 实群胚上实格拉斯-杜阿迪丛的几何与代数结构是什么？
• RQ5 导向量群胚的扭变KR-理论如何与等变弗雷德霍姆算子及广义态射相关联？

主要发现

• 实格拉斯-布雷尔群 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$ 对局部紧致实群胚上阿蒂yah的KR-函子的扭变进行分类。
• 扭变等价于实格拉斯-杜阿迪丛，后者由等变Čech上同调类分类。
• 对于导向量群胚 $X \rtimes G$，扭变KR-理论同构于 $\widehat{\mathrm{PU}}(\hat{\mathcal{H}})_n$-等变映射空间 $[P^{(n)}/G, \hat{\mathscr{F}}^n]^{{\widehat{\mathrm{PU}}}(\hat{\mathcal{H}})_n}_R$，提供了具体的几何模型。
• 在2-逆之后，扭变复K-理论 $K^{-j}_\mathcal{A}(\mathcal{G}) \otimes \mathbb{Z}[1/2]$ 分解为 $KR^{-j}_\mathcal{A}(\mathcal{G}) \oplus KR^{-j-2}_\mathcal{A}(\mathcal{G})$。
• 对于实空间 $\mathbf{S}^{0,1}$，有 $\widehat{\mathrm{BrR}}(\mathbf{S}^{0,1}) \cong \mathbb{Z}_2$，且当 $q-p-i \equiv 0 \mod 2$ 时，扭变KR-理论群为 $\mathbb{Z}$，否则为0。
• 当实结构平凡时，该构造恢复普通扭变复K-理论，且对非不动点分支 $\mathcal{G}_1$ 有 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G}) \cong \widehat{\mathrm{Br}}_\ast(\mathcal{G}_1)$。