[论文解读] Twistor quotients of hyperkaehler manifolds

Roger Bielawski|ArXiv.org|Jun 20, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文引入扭量群——在 ℂℙ¹ 上带有实结构的复李群丛——并利用它们推广了超凯勒商化构造。通过允许群作用在超凯勒流形的每种复结构下保持复辛结构，该框架统一了已知构造，如半单群的余伴随轨道和广义勒壤得变换，通过扭量空间的纤维复辛商化构造出新的超凯勒流形。

ABSTRACT

We generalize the hyperkaehler quotient construction to the situation where there is no group action preserving the hyperkaehler structure but for each complex structure there is an action of a complex group preserving the corresponding complex symplectic structure. Many (known and new) hyperkaehler manifolds arise as quotients in this setting. For example, all hyperkaehler structures on semisimple coadjoint orbits of a complex semisimple Lie group $G$ arise as such quotients of $T^*G$. The generalized Legendre transform construction of Lindstroem and Rocek is also explained in this framework.

研究动机与目标

• 将超凯勒商化构造推广至不保持完整超凯勒结构的群作用之外。
• 解释当每种复结构均容许相容群作用时，扭量空间的复辛商化如何产生超凯勒流形。
• 将广义勒壤得变换（GLT）构造解释为通过阿贝尔扭量群进行的扭量商化。
• 提供一个通过扭量群作用构造新超凯勒流形（包括 ALE 空间和单极子模空间）的框架。

提出的方法

• 将扭量群定义为在 ℂℙ¹ 上带有实结构的光滑复空间范畴中的群对象。
• 利用超凯勒流形 M 的扭量空间 Z 上的纤维全纯群作用来定义扭量商化。
• 为阿贝尔扭量群构造矩映射 μ: Z → Lie(G) ⊗ O(2)，该映射下降至商空间 Z/G。
• 证明商空间上的超凯勒度量可从商空间形变上的凯勒势重建。
• 将该框架应用于已知情形：通过 T*G 构造复半单群的余伴随轨道，以及通过投影至 O(2k) 构造广义勒壤得变换。
• 使用 E-H 形式和卡林格旋矢量方程，将 M 上的所得向量场解释为凯勒向量场的高阶推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 当无全局群作用保持超凯勒结构时，如何推广超凯勒商化构造？
• RQ2 广义勒壤得变换能否被理解为扭量空间的纤维复辛商化？
• RQ3 在超凯勒流形的扭量空间上作用的 ℂℙ¹ 上复群丛的几何作用是什么？
• RQ4 扭量商化与已知超凯勒流形（如余伴随轨道和 ALE 空间）有何关系？
• RQ5 能否从其形变的凯勒势重建扭量商化上的度量？

主要发现

• 复半单李群 G 的所有半单余伴随轨道上的超凯勒结构均可通过扭量群构造作为 T*G 的扭量商化得到。
• 广义勒壤得变换构造等价于通过阿贝尔扭量群进行扭量商化，其中投影至 O(2k) 充当矩映射。
• SU(2)-单极子荷数为 k 的模空间可赋予超凯勒度量，该度量作为 T*Gl(k,C) 的扭量商化实现。
• ALE 空间可作为配备 Kronheimer 超凯勒度量的余伴随轨道的扭量商化构造而成。
• 扭量商化 M//G 上的凯勒势由矩映射的水平集上的势函数取值得到，具体为 K̄(u_{k+1},…,z_{n}) = K(u_{k+1},…,z_{n},v₀)。
• 该构造可将任意扭量商化通过正规子群链逐步约化为一系列阿贝尔扭量商化与标准超凯勒商化。