[论文解读] Twistor spaces for hyperkaehler implosions

Andrew Dancer, Frances Kirwan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过使用矩映射和基本表示，将 $\mathrm{SU}(n)$ 的全息超凯勒紧缩 $Q$ 构造为复仿射空间 $\mathcal{R}$ 中的 $K\times T\times\mathrm{SU}(2)$-等变嵌入。此外，还定义了从 twistor 空间 $\mathcal{Z}_Q$ 到 $\mathbb{P}^1$ 上向量丛的通态单射全纯映射，通过超塔里克流形和根平面排列揭示了紧缩的结构，并为将该构造推广到其他紧致群铺平了道路。

ABSTRACT

We study the geometry of the twistor space of the universal hyperkaehler implosion Q for SU(n). Using the description of Q as a hyperkaehler quiver variety, we construct a holomorphic map from the twistor space Z_Q of Q to a complex vector bundle over P^1, and an associated map of Q to the affine space R of the bundle's holomorphic sections. The map from Q to R is shown to be injective and equivariant for the action of SU(n) x T^{n-1} x SU(2). Both maps, from Q and from Z_Q, are described in detail for n=2 and n=3. We explain how the maps are built from the fundamental irreducible representations of SU(n) and the hypertoric variety associated to the hyperplane arrangement given by the root planes in the Lie algebra of the maximal torus. This indicates that the constructions might extend to universal hyperkaehler implosions for other compact groups.

研究动机与目标

• 将超凯勒紧缩构造从 $\mathrm{SU}(n)$ 推广到其他紧致李群。
• 提供 $\mathrm{SU}(n)$ 的全息超凯勒紧缩 $Q$ 的 twistor 空间 $\mathcal{Z}_Q$ 的几何描述。
• 通过基本表示和矩映射，建立 $Q$ 到复仿射空间 $\mathcal{R}$ 的 $K\times T\times\mathrm{SU}(2)$-等变嵌入。
• 证明 $Q$ 在 $\mathcal{R}$ 中的像是一个与极大环面中根平面相关的超塔里克流形的 $K_{\mathbb{C}}$-扫掠的闭包。
• 通过 twistor 空间嵌入为将超凯勒紧缩构造推广到任意紧致群奠定基础。

提出的方法

• 利用超凯勒结构和由 $\mathbb{P}^1$ 参数化的复结构，从超凯勒紧缩 $Q$ 的 twistor 空间 $\mathcal{Z}_Q$ 构造到 $\mathbb{P}^1$ 上复向量丛的全纯映射。
• 使用 $Q$ 的超凯勒 quiver 变体描述 $ (T^*K_{\mathbb{C}})_{\mathrm{hkimpl}} $ 来定义嵌入 $\sigma: Q \to \mathcal{R}$。
• 将 $\mathcal{R}$ 定义为 $\mathbb{P}^1$ 上一个丛的全纯截面空间，具体为 $ H^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(2) \otimes (\mathfrak{k}_{\mathbb{C}} \oplus \mathfrak{t}_{\mathbb{C}}) \oplus \bigoplus_{j=1}^{\dim V_{\varpi}-1} \mathcal{O}(\ell_j) \otimes \wedge^j V_{\varpi}) $。
• 利用矩映射和 $\mathrm{SU}(n)$ 的基本不可约表示作用，证明映射 $\sigma: Q \to \mathcal{R}$ 是单射且 $K\times T\times\mathrm{SU}(2)$-等变的。
• 描述了在 $\mathfrak{t}$ 中根平面相关的超塔里克流形在 $\sigma$ 下的像，表明其映射到 $\mathcal{R}$ 中，且其 $K_{\mathbb{C}}$-扫掠在 $\mathcal{R}$ 中稠密。
• 显式地将构造扩展到 $n=2$ 和 $n=3$ 的情形，验证了低秩情况下的映射与对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\mathrm{SU}(n)$ 的全息超凯勒紧缩的 twistor 空间描述为 $\mathbb{P}^1$ 上向量丛的全纯子簇？
• RQ2 如何利用表示理论和矩映射，将超凯勒紧缩 $Q$ 等变地嵌入到复仿射空间 $\mathcal{R}$ 中？
• RQ3 与极大环面中根平面相关的超塔里克流形在重构紧缩 $Q$ 的过程中起什么作用？
• RQ4 能否将 $Q$ 作为 $\mathcal{R}$ 中与根平面相关的超塔里克流形的 $K_{\mathbb{C}}$-扫掠的闭包的构造推广到其他紧致李群？
• RQ5 $Q$ 上旋转复结构的 $\mathrm{SU}(2)$-作用如何与嵌入到 $\mathcal{R}$ 中的构造相互作用？

主要发现

• 映射 $\sigma: Q \to \mathcal{R}$ 是单射且 $K\times T\times\mathrm{SU}(2)$-等变的，为全息超凯勒紧缩在复仿射空间中的具体实现提供了依据。
• twistor 空间 $\mathcal{Z}_Q$ 允许一个通态单射的全纯映射到 $\mathbb{P}^1$ 上的向量丛，该映射通过嵌入 $\sigma$ 和 $\mathrm{SU}(2)$ 对复结构的旋转构造而成。
• 对于 $n=2$ 和 $n=3$，$Q$ 和 $\mathcal{Z}_Q$ 的映射被显式描述，确认了低秩情形下的一般构造。
• $Q$ 在 $\mathcal{R}$ 中的像是与 $\mathfrak{t}$ 中根平面相关的超塔里克流形的像的 $K_{\mathbb{C}}$-扫掠的闭包，从而建立了对 $Q$ 的几何重构。
• 该构造依赖于 $\mathrm{SU}(n)$ 的基本不可约表示以及极大环面李代数中根平面的超平面排列，暗示了向其他紧致群推广的可能性。
• 本文为通过将全息紧缩嵌入到 $K_{\mathbb{C}}$-表示空间 $\mathcal{R}$ 中并分析其 twistor 空间，将超凯勒紧缩推广到任意紧致李群提供了框架。