[论文解读] Twistorial Topological Strings and a tt* Geometry for N=2 Theories in 4d

Sergio Cecotti, Andrew Neitzke+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

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一句话总结

该论文通过Nekrasov-Shatashvili $\frac{1}{2}\Omega$背景下的4d $\mathcal{N}=2$超对称理论的$tt^*$几何，将微分拓扑弦理论推广为扭形式拓扑弦理论。它表明该构造可对超凯勒几何进行量化，在某一极限下退化为微分拓扑弦理论，并在另一极限下编码了量子可积系统，从而在AGT对应关系下为刘维尔理论提供了扭形式推广。

ABSTRACT

We define twistorial topological strings by considering tt* geometry of the 4d N=2 supersymmetric theories on the Nekrasov-Shatashvili half-Omega background, which leads to quantization of the associated hyperKahler geometries. We show that in one limit it reduces to the refined topological string amplitude. In another limit it is a solution to a quantum Riemann-Hilbert problem involving quantum Kontsevich-Soibelman operators. In a further limit it encodes the hyperKahler integrable systems studied by GMN. In the context of AGT conjecture, this perspective leads to a twistorial extension of Toda. The 2d index of the half-Omega theory leads to the recently introduced index for N=2 theories in 4d. The twistorial topological string can alternatively be viewed, using the work of Nekrasov-Witten, as studying the vacuum geometry of 4d N=2 supersymmetric theories on T^2x I where I is an interval with specific boundary conditions at the two ends.

研究动机与目标

• 通过4d $\mathcal{N}=2$理论在$\frac{1}{2}\Omega$背景下的$tt^*$几何，定义拓扑弦理论的扭形式推广。
• 精确建立扭形式拓扑弦理论与涉及量子康特绍维奇-索伊贝尔曼算子的量子黎曼-希尔伯特问题之间的联系。
• 证明在$\theta$极限下，该构造产生盖普托-莫尔-内茨克所研究的超凯勒几何的量子版本。
• 通过提出刘维尔系统的扭形式推广，扩展AGT对应关系。

提出的方法

• 该构造利用4d $\mathcal{N}=2$理论在$T^2 \times I$上紧化后的$tt^*$几何，其中$I$为带有D膜边界条件的区间。
• 从紧化得到的3d理论中，D膜波函数在$L \to \infty$极限下编码了扭形式拓扑弦振幅。
• 扭参数$\zeta$被引入为标记D膜上保留的超荷选择的相位，其取值扩展至复平面除去$0$和$\infty$。
• 在$R \to 0$极限下，$\zeta \to 0$且$\zeta/R = \epsilon_2$保持有限时，振幅退化为在量化Coulomb分支参数$\vec{a} = \vec{k}\epsilon_1$下的微分拓扑弦振幅。
• 该理论通过Nekrasov-Witten对应关系被解释为在$T^2 \times I$上具有指定边界条件的4d $\mathcal{N}=2$理论的真空几何。
• 通过用扭形式$\Gamma$函数替代$A_r$张量矩阵模型中Selberg型积分的标准$\Gamma$函数，显式计算了振幅。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用4d $\mathcal{N}=2$理论在$\mathcal{N}=2$ $\frac{1}{2}\Omega$背景下的$tt^*$几何来定义拓扑弦理论的扭形式推广？
• RQ2 在适当极限下，扭形式拓扑弦理论与微分拓扑弦理论之间有何关系？
• RQ3 该扭形式构造如何编码量子可积系统，特别是在$\theta$极限下？
• RQ4 AGT对应关系能否扩展以包含扭形式结构？若能，其与刘维尔理论有何关联？
• RQ5 扭参数$\zeta$在$tt^*$几何中的作用是什么？它如何导致量子黎曼-希尔伯特问题？

主要发现

• 扭形式拓扑弦振幅被定义为4d $\mathcal{N}=2$理论在$T^2 \times I$上紧化后的$tt^*$几何中D膜波函数，其中$\zeta$为扭参数。
• 在$R \to 0$极限下，$\zeta \to 0$且$\zeta/R = \epsilon_2$保持有限时，振幅退化为在量化Coulomb分支参数$\vec{a} = \vec{k}\epsilon_1$下的微分拓扑弦振幅。
• 在$\theta$有限的$\theta$极限下，该构造产生线性算子的量子黎曼-希尔伯特问题，其中扭形式划分函数作为波函数。
• 对于$A_r$张量矩阵模型，通过将Selberg积分中标准$\Gamma$函数替换为涉及与耦合相关的角度$\psi_\ell, \phi_\ell, \theta$的扭形式$\Gamma$函数，得到扭形式振幅。
• 所得的扭形式刘维尔振幅表示为扭形式双$\Gamma$函数的乘积，其自变量与't Hooft参数相关。
• 该构造通过AGT对应关系显式提供了刘维尔全纯块的扭形式推广，利用刘维尔量与Selberg积分中参数之间的字典关系。