[论文解读] Twists of Drinfeld-Stuhler modular varieties

Michael Spieß|ArXiv.org|Jan 20, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文证明了在全局函数域上，与不同中心单代数相关的德林菲尔德-斯图勒尔模形式簇彼此为对方的扭（twist），将特征零的切雷德尼克-德林菲尔德定理推广至正特征情形。通过双模扭构造，显式建立了${\cal A}$-椭圆层模空间之间的同构，表明这些簇在适当扩张的基变换下几何同构，从而统一了其模形式描述。

ABSTRACT

Let $\cal A$ be a maximal (or more generally a hereditary) order in a central simple algebra over a global field $F$ of positive characteristic. We study the reduction of the modular scheme of $\cal A$-elliptic sheaves at all places of $F$. We show that some of these varieties - for different $\cal A$ - are twists of each other. This result can be viewed as a global analogue of the Cherednik-Drinfeld theorem for these varieties.

研究动机与目标

• 通过研究德林菲尔德-斯图勒尔模形式簇，将切雷德尼克-德林菲尔德定理关于施米拉曲线的结果推广至正特征。
• 理解在全局函数域上，不同中心单代数$A$的${\cal A}$-椭圆层模空间之间的几何关系。
• 通过显式的双模构造，建立这些模空间彼此为扭的关系。
• 将德林菲尔德-斯图勒尔簇的模形式描述扩展至光滑区域之外，包括有分歧和非分裂的点。
• 利用遗传序和弗罗贝尼乌斯结构，为${\cal A}$-椭圆层的模形式提供统一框架。

提出的方法

• 使用全局函数域$F$上中心单代数$A$中的遗传序${\cal A}$，定义在固定点$\infty$处有极点的${\cal A}$-椭圆层。
• 定义具有水平-$I$结构的${\cal A}$-椭圆层模空间$\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A},I}$，并证明其为$X - I$上相对维数$d-1$的半稳定拟射影概形。
• 构造显式的${\cal A}$-$A'$-双模$\{ {\cal I}_i \}$及其对偶$\{ {\cal J}_i \}$，满足与弗罗贝尼乌斯作用及局部不变量相容的条件。
• 应用扭函子$\cdot \otimes_{{\cal A}} {\cal I}_\star$与$\cdot \otimes_{{\cal A}'} {\cal J}_\star$，关联不同代数的模空间。
• 证明这些函子在$X - |\operatorname{\underline{Disc}}({\cal A}')|$上诱导出$\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A},I}$与$\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A}',I}$之间的互逆同构，从而确立扭关系。
• 通过使用$k(\infty)$-有值结构与弗罗贝尼乌斯扭，将构造推广至$\deg(\infty) > 1$的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数域上，不同中心单代数的德林菲尔德-斯图勒尔模形式簇是否具有几何关联？
• RQ2 能否通过${\cal A}$-椭圆层的模形式，将切雷德尼克-德林菲尔德定理关于施米拉曲线的结果推广至正特征？
• RQ3 在何种条件下，${\cal A}$-椭圆层的模空间彼此为扭？
• RQ4 局部不变量与遗传序如何影响这些簇的模形式构造？
• RQ5 能否通过基于双模的同构，将模空间扩展至包含分歧点的情形？

主要发现

• 模空间$\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A},I}$是$X - I$上相对维数$d-1$的半稳定拟射影概形，将先前结果推广至完整基底。
• 对于两个中心单代数$A$与$A'$，若其在某点$\mathfrak{p}$与$\infty$处的局部不变量相差$\frac{1}{d}$，则对应的模空间彼此为扭。
• 该扭由满足$ {\cal A}(\frac{1}{d}\infty_i) \otimes_{{\cal A}} {\cal I}_i = {\cal I}_{i+1} $的双模$\{ {\cal I}_i \}$实现，且与弗罗贝尼乌斯作用相容。
• 模空间间的同构由函子$E \mapsto E \otimes_{{\cal A}} {\cal I}_\star$给出，其在$X - |\operatorname{\underline{Disc}}({\cal A}')|$上诱导出几何同构。
• 其逆同构由$E' \mapsto (E' \otimes_{{\cal A}'} {\cal J}_\star)_{d-1}$给出，表明该扭是范畴间的等价关系。
• 通过使用$k(\infty)$-有值结构与弗罗贝尼乌斯平移，该构造可推广至$\deg(\infty) > 1$的情形，且保持同构性质不变。