[论文解读] Two Bijections for Dyck Path Parameters

David Callan|ArXiv.org|Jun 19, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用 19

一句话总结

本文提出了两种新的双射，连接 Dyck 路径与 Motzkin 路径，且保持关键参数不变：UDU 子串的数量与 DDU 子串的数量。第一个双射将不含 UUU 的 Dyck 路径映射到 Motzkin 路径，证明其数量等于 Motzkin 数。第二个双射利用双色 Motzkin 路径，建立 Dyck 路径中 UDU 与 DDU 出现次数的精确分布公式，通过显式的步长变换与匹配规则，将这些分布与 Catalan 数和 Motzkin 数联系起来。

ABSTRACT

Here we give two bijections, one to show that the number of UUU-free Dyck n-paths is the Motzkin number M_n, the other to obtain the (known) distributions of the parameters "number of UDUs" and "number of DDUs" on Dyck n-paths. The first bijection is straightforward, the second not quite so obvious.

研究动机与目标

• 建立不含 UUU 的 Dyck 路径与 Motzkin 路径之间的双射对应关系，证明其数量等于 Motzkin 数 $ M_n $。
• 通过双色 Motzkin 路径构造，推导 Dyck 路径中 UDU 子串数量的精确分布公式。
• 通过涉及步长替换与下降段追踪的精细双射，推导 Dyck 路径中 DDU 子串数量的精确分布公式。
• 通过将无短非终端下降段的 Dyck 路径与无地面层平步的 Motzkin 路径关联，刻画 Dyck 路径的结构特性。
• 提供可逆且显式的 Dyck 路径与 Motzkin 路径之间的变换，保持并映射特定路径参数。

提出的方法

• 将不含 UUU 的 Dyck 路径中的每个 UUD 替换为单个 U，其余 UD 替换为平步 F，从而得到 Motzkin 路径；其逆过程可恢复原始 Dyck 路径。
• 通过为平步分配两种颜色（绿色与黑色），构造双色 Motzkin 路径，从而通过不同类型的步长实现参数追踪。
• 应用逐步变换：保持 U 步不变，将 D 替换为 UDD，绿色 F 替换为 UD，黑色 F 替换为 U 后在其关联的下步前插入一个 D。
• 在 Motzkin 路径末尾附加一个 D，以确保每个平步都有明确关联的下步；变换完成后移除该 D，以保持 Dyck 路径结构。
• 使用匹配规则实现变换的逆过程：绿色 F 对应 UD 对后接一个 U，黑色 F 对应其匹配 D 位于长度 ≥3 的下降段中的 U 步，原始 U 步对应其匹配 D 后接一个 U 的情况。
• 利用已知的双色 Motzkin 路径计数结果（按绿色 F 步数或 D 步数），推导 Dyck 路径中 UDU 与 DDU 的分布公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 不含 UUU 的 Dyck $ n $-路径的确切数量是多少？如何通过双射将其与 Motzkin 路径关联？
• RQ2 所有 Dyck $ n $-路径中 UDU 子串数量的分布是什么？如何通过组合构造推导？
• RQ3 所有 Dyck $ n $-路径中 DDU 子串数量的分布是什么？它与已知组合序列有何关联？
• RQ4 如何构造一个双射，使得双色 Motzkin 路径中的绿色平步数量对应 Dyck 路径中的 UDU 子串数量？
• RQ5 Dyck 路径的结构特性（如终端下降段、短下降段）与 Motzkin 路径的特性（如地面层平步）之间有何对应关系？

主要发现

• 不含 UUU 的 Dyck $ n $-路径的数量恰好为 $ M_n $，即第 $ n $ 个 Motzkin 数，通过可逆变换实现：将 UUD 替换为 U，UD 替换为 F。
• 具有恰好 $ k $ 个 UDU 子串的 Dyck $ n $-路径数量为 $ inom{n-1}{k} M_{n-1-k} $，称为 Donaghey 分布。
• 具有恰好 $ k $ 个 DDU 子串的 Dyck $ n $-路径数量为 $ inom{n-1}{2k} 2^{n-1-2k} C_k $，称为 Touchard 分布。
• 该双射将双色 Motzkin 路径中的绿色平步映射为 Dyck 路径中的 UDU 子串，将 D 步映射为 DDU 子串，同时保持路径结构不变。
• 无地面层平步的 Motzkin 路径与无短非终端下降段的 Dyck 路径之间存在双射对应关系，通过删除末尾的 UD 对实现。
• 主双射的逆变换可恢复原始路径类型：绿色 F 步被识别为后接一个 U 的 UD 对，黑色 F 步被识别为匹配 D 位于长度 ≥3 的下降段中的 U 步。